Haya, twende na swali la 17.

Question

ScanSolve AI Tutor · Accepted Answer

Haya, twende na swali la 17. 17. Nambari ya kwanza ya mfuatano wa kihesabu (A.P) unaoongezeka inatolewa na (2x − 1) na tofauti ya kawaida ni x. Zao la nambari ya 1^(st) na 3^(rd) ni 21. a) Tafuta thamani ya x. Step 1: Andika nambari ya kwanza (a) na tofauti ya kawaida (d) ya A.P. a = 2x − 1; d = x; Step 2: Tafuta nambari ya 1^(st) (T₁) na nambari ya 3^(rd) (T₃) kwa kutumia fomula T_n = a + (n−1)d. T₁ = a = 2x − 1; T₃ = a + 2d = (2x − 1) + 2(x) = 2x − 1 + 2x = 4x − 1 Step 3: Tumia masharti yaliyotolewa kwamba zao la T₁ na T₃ ni 21. T₁ × T₃ = 21; (2x − 1)(4x − 1) = 21 Step 4: Panua na tatua mlinganyo wa quadratic. 8x² − 2x − 4x + 1 = 21; 8x² − 6x + 1 = 21; 8x² − 6x − 20 = 0 Gawanya kwa 2: 4x² − 3x − 10 = 0 Step 5: Tatua mlinganyo wa quadratic kwa kutumia factorization. 4x² − 8x + 5x − 10 = 0; 4x(x − 2) + 5(x − 2) = 0; (4x + 5)(x − 2) = 0; Hivyo, 4x + 5 = 0 au x − 2 = 0. x = −5/4 au x = 2 Step 6: Angalia masharti ya "mfuatano wa kihesabu unaoongezeka". Hii inamaanisha tofauti ya kawaida (d) lazima iwe chanya. Ikiwa x = −5/4, basi d = −5/4, ambayo inafanya mfuatano kupungua. Hivyo, x = −5/4 si jibu sahihi. Ikiwa x = 2, basi d = 2, ambayo inafanya mfuatano kuongezeka. Hivyo, x = 2 ndio jibu sahihi. Jibu la mwisho ni: x = 2 b) Ikiwa nambari ya mwisho ya A.P ni 105, kokotoa jumla ya nambari hizo. Step 1: Kutoka sehemu (a), tunajua x = 2. Tumia hii kupata a na d. a = 2x − 1 = 2(2) − 1 = 4 − 1 = 3; d = x = 2; Step 2: Nambari ya mwisho (L au T_n) ni 105. Tumia fomula T_n = a + (n−1)d kutafuta idadi ya nambari (n). 105 = 3 + (n−1)2; 105 = 3 + 2n − 2; 105 = 2n + 1; 104 = 2n; n = 52; Step 3: Kokotoa jumla ya nambari (S_n) kwa kutumia fomula S_n = n/2(a + L). S₅₂ = 52/2(3 + 105); S₅₂ = 26(108); S₅₂ = 2808 Jibu la mwisho ni: S₅₂ = 2808 c) Kutokana na kwamba nambari ya 1^(st), 4^(th) na 13^(th) za A.P zinaunda nambari tatu za kwanza mfululizo za mfuatano wa kijiometri (G.P), Bainisha: (i) Nambari ya 12^(th) ya G.P Step 1: Tafuta nambari ya 1^(st), 4^(th) na 13^(th) za A.P kwa kutumia a=3 na d=2. T₁ = a = 3; T₄ = a + 3d = 3 + 3(2) = 3 + 6 = 9; T₁₃ = a + 12d = 3 + 12(2) = 3 + 24 = 27 Hivyo, G.P ni 3, 9, 27, Step 2: Tambua nambari ya kwanza ya G.P (A) na uwiano wa kawaida (R). A = 3; R = 9/3 = 3; Step 3: Kokotoa nambari ya 12^(th) ya G.P kwa kutumia fomula T_n = A Rⁿ⁻¹. T₁₂ = A R¹²⁻¹ = 3 × 3¹¹; T₁₂ = 3¹ × 3¹¹ = 3¹²; T₁₂ = 531441 Jibu la mwisho ni: T₁₂ = 531441 (ii) Jumla ya nambari 12 za kwanza za G.P Step 1: Tumia fomula ya jumla ya nambari n za kwanza za G.P, S_n = (A(Rⁿ − 1))/(R − 1) (kwa sababu R > 1). S₁₂ = (3(3¹² − 1))/(3 − 1) Step 2: Badilisha thamani ya 3¹² na kurahisisha. S₁₂ = (3(531441 − 1))/(2); S₁₂ = (3(531440))/(2); S₁₂ = 3 × 265720; S₁₂ = 797160 Jibu la mwisho ni: S₁₂ = 797160

Haya, twende na swali la 17.

Answers

Step-by-step solution

Part a· 6 steps

Andika nambari ya kwanza ( $a$ ) na tofauti ya kawaida ( $d$ ) ya A.P.

Tafuta nambari ya $1^{st}$ ( $T_1$ ) na nambari ya $3^{rd}$ ( $T_3$ ) kwa kutumia fomula $T_n = a + (n-1)d$ .

Tumia masharti yaliyotolewa kwamba zao la $T_1$ na $T_3$ ni 21.

Panua na tatua mlinganyo wa quadratic.

Tatua mlinganyo wa quadratic kwa kutumia factorization.

Angalia masharti ya "mfuatano wa kihesabu unaoongezeka".

Part b· 3 steps
$S_{52} = 2808$

Kutoka sehemu (a), tunajua $x = 2$ .

Nambari ya mwisho ( $L$ au $T_n$ ) ni 105.

Kokotoa jumla ya nambari ( $S_n$ ) kwa kutumia fomula $S_n = \frac{n}{2}(a + L)$ .

Part c(i)· 3 steps
$T_{12} = 531441$

Tafuta nambari ya $1^{st}$ , $4^{th}$ na $13^{th}$ za A.P kwa kutumia $a=3$ na $d=2$ .

Tambua nambari ya kwanza ya G.P ( $A$ ) na uwiano wa kawaida ( $R$ ).

Kokotoa nambari ya $12^{th}$ ya G.P kwa kutumia fomula $T_n = A R^{n-1}$ .

Part c(ii)· 2 steps
$S_{12} = 797160$

Tumia fomula ya jumla ya nambari $n$ za kwanza za G.P, $S_n = \frac{A(R^n - 1)}{R - 1}$ (kwa sababu $R > 1$ ).

Badilisha thamani ya $3^{12}$ na kurahisisha.

Try one yourself

Still stuck on this one?

More Mathematics Questions

Haya, twende na swali la 17.

Answers

Step-by-step solution

Part a· 6 steps

Andika nambari ya kwanza (aaa) na tofauti ya kawaida (ddd) ya A.P.

Tafuta nambari ya 1st1^{st}1st (T1T_1T1​) na nambari ya 3rd3^{rd}3rd (T3T_3T3​) kwa kutumia fomula Tn=a+(n−1)dT_n = a + (n-1)dTn​=a+(n−1)d.

Tumia masharti yaliyotolewa kwamba zao la T1T_1T1​ na T3T_3T3​ ni 21.

Panua na tatua mlinganyo wa quadratic.

Tatua mlinganyo wa quadratic kwa kutumia factorization.

Angalia masharti ya "mfuatano wa kihesabu unaoongezeka".

Part b· 3 stepsS52=2808S_{52} = 2808S52​=2808

Kutoka sehemu (a), tunajua x=2x = 2x=2.

Nambari ya mwisho (LLL au TnT_nTn​) ni 105.

Kokotoa jumla ya nambari (SnS_nSn​) kwa kutumia fomula Sn=n2(a+L)S_n = \frac{n}{2}(a + L)Sn​=2n​(a+L).

Part c(i)· 3 stepsT12=531441T_{12} = 531441T12​=531441

Tafuta nambari ya 1st1^{st}1st, 4th4^{th}4th na 13th13^{th}13th za A.P kwa kutumia a=3a=3a=3 na d=2d=2d=2.

Tambua nambari ya kwanza ya G.P (AAA) na uwiano wa kawaida (RRR).

Kokotoa nambari ya 12th12^{th}12th ya G.P kwa kutumia fomula Tn=ARn−1T_n = A R^{n-1}Tn​=ARn−1.

Part c(ii)· 2 stepsS12=797160S_{12} = 797160S12​=797160

Tumia fomula ya jumla ya nambari nnn za kwanza za G.P, Sn=A(Rn−1)R−1S_n = \frac{A(R^n - 1)}{R - 1}Sn​=R−1A(Rn−1)​ (kwa sababu R>1R > 1R>1).

Badilisha thamani ya 3123^{12}312 na kurahisisha.

Try one yourself

Still stuck on this one?

More Mathematics Questions

Andika nambari ya kwanza ( $a$ ) na tofauti ya kawaida ( $d$ ) ya A.P.

Tafuta nambari ya $1^{st}$ ( $T_1$ ) na nambari ya $3^{rd}$ ( $T_3$ ) kwa kutumia fomula $T_n = a + (n-1)d$ .

Tumia masharti yaliyotolewa kwamba zao la $T_1$ na $T_3$ ni 21.

Part b· 3 steps
$S_{52} = 2808$

Kutoka sehemu (a), tunajua $x = 2$ .

Nambari ya mwisho ( $L$ au $T_n$ ) ni 105.

Kokotoa jumla ya nambari ( $S_n$ ) kwa kutumia fomula $S_n = \frac{n}{2}(a + L)$ .

Part c(i)· 3 steps
$T_{12} = 531441$

Tafuta nambari ya $1^{st}$ , $4^{th}$ na $13^{th}$ za A.P kwa kutumia $a=3$ na $d=2$ .

Tambua nambari ya kwanza ya G.P ( $A$ ) na uwiano wa kawaida ( $R$ ).

Kokotoa nambari ya $12^{th}$ ya G.P kwa kutumia fomula $T_n = A R^{n-1}$ .

Part c(ii)· 2 steps
$S_{12} = 797160$

Tumia fomula ya jumla ya nambari $n$ za kwanza za G.P, $S_n = \frac{A(R^n - 1)}{R - 1}$ (kwa sababu $R > 1$ ).

Badilisha thamani ya $3^{12}$ na kurahisisha.