निम्न कथनों में से कौन सा/से सत्य है/हैं ? I. श्रेणी 1/1^p - 1/2^p + 1/3^p - 1/4^p + .... (p>0) के लिए अभिसारी है। II. श्रेणी 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + .... अभिसारी है । III. श्रेणी 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + .... अपसारी है । 89. श्रेणी Σ (x)/(n(n+1)) किस अन्तराल में एकसमान अभिसारी नहीं है ?

श्रेणी का सामान्य पद $f_n(x) = \frac{x}{n(n+1)}$ है।
हम $\frac{1}{n(n+1)}$ को $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ के रूप में लिख सकते हैं।
तो, श्रेणी $S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} x \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$ बन जाती है।

यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:

तो, श्रेणी $S(x) = x$ पर अभिसरित होती है।

एक श्रेणी $\sum f_n(x)$ एक अंतराल $I$ पर एकसमान अभिसारी होती है यदि $\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in I} |S(x) - S_n(x)| = 0$।
यहां, $S(x) - S_n(x) = x - x\left(1 - \frac{1}{n+1}\right) = x\left(1 - 1 + \frac{1}{n+1}\right) = \frac{x}{n+1}$।
हमें $\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in I} \left|\frac{x}{n+1}\right| = 0$ की आवश्यकता है।

• (1) $(0, 1)$: $\sup_{x \in (0,1)} \left|\frac{x}{n+1}\right| = \frac{1}{n+1}$। $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0$। यह एकसमान अभिसारी है।
• (2) $(0, 2)$: $\sup_{x \in (0,2)} \left|\frac{x}{n+1}\right| = \frac{2}{n+1}$। $\lim_{n \to \infty} \frac{2}{n+1} = 0$। यह एकसमान अभिसारी है।
• (3) $(0, 10)$: $\sup_{x \in (0,10)} \left|\frac{x}{n+1}\right| = \frac{10}{n+1}$। $\lim_{n \to \infty} \frac{10}{n+1} = 0$। यह एकसमान अभिसारी है।
• (4) $(0, \infty)$: $\sup_{x \in (0,\infty)} \left|\frac{x}{n+1}\right|$। जैसे-जैसे $x \to \infty$, $\frac{x}{n+1} \to \infty$। तो, $\sup_{x \in (0,\infty)} \left|\frac{x}{n+1}\right| = \infty$। चूंकि $\lim_{n \to \infty} \infty \ne 0$, श्रेणी इस अंतराल में एकसमान अभिसारी नहीं है।

प्रश्न 88 का उत्तर: $\boxed{\text{4}}$
प्रश्न 89 का उत्तर: $\boxed{\text{4}}$