निम्न कथनों में से कौन सा/से सत्य है/हैं ? I. श्रेणी 1/1^p - 1/2^p + 1/3^p - 1/4^p + .... (p>0) के लिए अभिसारी है। II. श्रेणी 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + .... अभिसारी है । III. श्रेणी 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + .... अपसारी है । 89. श्रेणी Σ (x)/(n(n+1)) किस अन्तराल में एकसमान अभिसारी नहीं है ?

Question

Asked on June 23, 2026Mathematics

This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.

Accepted Answer · 2026-06-23T03:09:36.514Z

प्रश्न 88: हमें यह निर्धारित करना है कि दिए गए कथनों में से कौन सा/से सत्य है/हैं। कथन I: श्रेणी (1)/(1^p) - (1)/(2^p) + (1)/(3^p) - (1)/(4^p) + (p > 0) के लिए अभिसारी है। यह एक वैकल्पिक श्रेणी है _n=1^ (-1)^n+1 (1)/(n^p)। वैकल्पिक श्रेणी परीक्षण (Alternating Series Test) के अनुसार, यदि a_n = (1)/(n^p) धनात्मक, घटता हुआ और _n a_n = 0 है, तो श्रेणी अभिसारी होती है। चूंकि p > 0, a_n = (1)/(n^p) धनात्मक और घटता हुआ है, और _n (1)/(n^p) = 0 है। अतः, यह कथन सत्य है। कथन II: श्रेणी 1 - (1)/(2) + (1)/(3) - (1)/(4) + अभिसारी है। यह वैकल्पिक हार्मोनिक श्रेणी है, जो कथन I का एक विशेष मामला है जहाँ p=1 है। a_n = (1)/(n) धनात्मक, घटता हुआ है, और _n (1)/(n) = 0 है। अतः, वैकल्पिक श्रेणी परीक्षण के अनुसार, यह श्रेणी अभिसारी है। यह कथन सत्य है। कथन III: श्रेणी 1 + (1)/(2) + (1)/(3) + (1)/(4) + अपसारी है। यह हार्मोनिक श्रेणी है _n=1^ (1)/(n)। यह एक p-श्रेणी है _n=1^ (1)/(n^p) जहाँ p=1 है। एक p-श्रेणी अभिसारी होती है यदि p > 1 और अपसारी होती है यदि p 1। चूंकि p=1, यह श्रेणी अपसारी है। अतः, यह कथन सत्य है। सभी कथन I, II और III सत्य हैं। सही विकल्प है: (4) सभी I, II तथा III प्रश्न 89: हमें वह अंतराल ज्ञात करना है जिसमें श्रेणी _n=1^ (x)/(n(n+1)) एकसमान अभिसारी नहीं है। Step 1: श्रेणी के n-वें पद को आंशिक भिन्नों में तोड़ें। श्रेणी का सामान्य पद f_n(x) = (x)/(n(n+1)) है। हम (1)/(n(n+1)) को (1)/(n) - (1)/(n+1) के रूप में लिख सकते हैं। तो, श्रेणी S(x) = _n=1^ x ((1)/(n) - (1)/(n+1)) बन जाती है। Step 2: श्रेणी के आंशिक योग S_N(x) की गणना करें। यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: S_N(x) = x [ (1 - (1)/(2)) + ((1)/(2) - (1)/(3)) + + ((1)/(N) - (1)/(N+1)) ] S_N(x) = x (1 - (1)/(N+1)) Step 3: श्रेणी के योग S(x) की गणना करें। S(x) = _N S_N(x) = _N x (1 - (1)/(N+1)) = x(1 - 0) = x तो, श्रेणी S(x) = x पर अभिसरित होती है। Step 4: एकसमान अभिसरण के लिए शर्त लागू करें। एक श्रेणी f_n(x) एक अंतराल I पर एकसमान अभिसारी होती है यदि _n _x I |S(x) - S_n(x)| = 0। यहां, S(x) - S_n(x) = x - x(1 - (1)/(n+1)) = x(1 - 1 + (1)/(n+1)) = (x)/(n+1)। हमें _n _x I |(x)/(n+1)| = 0 की आवश्यकता है। Step 5: दिए गए अंतरालों का विश्लेषण करें। (1) (0, 1): _x (0,1) |(x)/(n+1)| = (1)/(n+1)। _n (1)/(n+1) = 0। यह एकसमान अभिसारी है। (2) (0, 2): _x (0,2) |(x)/(n+1)| = (2)/(n+1)। _n (2)/(n+1) = 0। यह एकसमान अभिसारी है। (3) (0, 10): _x (0,10) |(x)/(n+1)| = (10)/(n+1)। _n (10)/(n+1) = 0। यह एकसमान अभिसारी है। (4) (0, ): _x (0,) |(x)/(n+1)|। जैसे-जैसे x , (x)/(n+1) । तो, _x (0,) |(x)/(n+1)| = । चूंकि _n 0, श्रेणी इस अंतराल में एकसमान अभिसारी नहीं है। प्रश्न 88 का उत्तर: 4 प्रश्न 89 का उत्तर: 4 अगला प्रश्न भेजो 📸

Accepted Answer · 2026-06-23T03:09:36.514Z

प्रश्न 88: हमें यह निर्धारित करना है कि दिए गए कथनों में से कौन सा/से सत्य है/हैं। कथन I: श्रेणी (1)/(1^p) - (1)/(2^p) + (1)/(3^p) - (1)/(4^p) + (p > 0) के लिए अभिसारी है। यह एक वैकल्पिक श्रेणी है _n=1^ (-1)^n+1 (1)/(n^p)। वैकल्पिक श्रेणी परीक्षण (Alternating Series Test) के अनुसार, यदि a_n = (1)/(n^p) धनात्मक, घटता हुआ और _n a_n = 0 है, तो श्रेणी अभिसारी होती है। चूंकि p > 0, a_n = (1)/(n^p) धनात्मक और घटता हुआ है, और _n (1)/(n^p) = 0 है। अतः, यह कथन सत्य है। कथन II: श्रेणी 1 - (1)/(2) + (1)/(3) - (1)/(4) + अभिसारी है। यह वैकल्पिक हार्मोनिक श्रेणी है, जो कथन I का एक विशेष मामला है जहाँ p=1 है। a_n = (1)/(n) धनात्मक, घटता हुआ है, और _n (1)/(n) = 0 है। अतः, वैकल्पिक श्रेणी परीक्षण के अनुसार, यह श्रेणी अभिसारी है। यह कथन सत्य है। कथन III: श्रेणी 1 + (1)/(2) + (1)/(3) + (1)/(4) + अपसारी है। यह हार्मोनिक श्रेणी है _n=1^ (1)/(n)। यह एक p-श्रेणी है _n=1^ (1)/(n^p) जहाँ p=1 है। एक p-श्रेणी अभिसारी होती है यदि p > 1 और अपसारी होती है यदि p 1। चूंकि p=1, यह श्रेणी अपसारी है। अतः, यह कथन सत्य है। सभी कथन I, II और III सत्य हैं। सही विकल्प है: (4) सभी I, II तथा III प्रश्न 89: हमें वह अंतराल ज्ञात करना है जिसमें श्रेणी _n=1^ (x)/(n(n+1)) एकसमान अभिसारी नहीं है। Step 1: श्रेणी के n-वें पद को आंशिक भिन्नों में तोड़ें। श्रेणी का सामान्य पद f_n(x) = (x)/(n(n+1)) है। हम (1)/(n(n+1)) को (1)/(n) - (1)/(n+1) के रूप में लिख सकते हैं। तो, श्रेणी S(x) = _n=1^ x ((1)/(n) - (1)/(n+1)) बन जाती है। Step 2: श्रेणी के आंशिक योग S_N(x) की गणना करें। यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: S_N(x) = x [ (1 - (1)/(2)) + ((1)/(2) - (1)/(3)) + + ((1)/(N) - (1)/(N+1)) ] S_N(x) = x (1 - (1)/(N+1)) Step 3: श्रेणी के योग S(x) की गणना करें। S(x) = _N S_N(x) = _N x (1 - (1)/(N+1)) = x(1 - 0) = x तो, श्रेणी S(x) = x पर अभिसरित होती है। Step 4: एकसमान अभिसरण के लिए शर्त लागू करें। एक श्रेणी f_n(x) एक अंतराल I पर एकसमान अभिसारी होती है यदि _n _x I |S(x) - S_n(x)| = 0। यहां, S(x) - S_n(x) = x - x(1 - (1)/(n+1)) = x(1 - 1 + (1)/(n+1)) = (x)/(n+1)। हमें _n _x I |(x)/(n+1)| = 0 की आवश्यकता है। Step 5: दिए गए अंतरालों का विश्लेषण करें। (1) (0, 1): _x (0,1) |(x)/(n+1)| = (1)/(n+1)। _n (1)/(n+1) = 0। यह एकसमान अभिसारी है। (2) (0, 2): _x (0,2) |(x)/(n+1)| = (2)/(n+1)। _n (2)/(n+1) = 0। यह एकसमान अभिसारी है। (3) (0, 10): _x (0,10) |(x)/(n+1)| = (10)/(n+1)। _n (10)/(n+1) = 0। यह एकसमान अभिसारी है। (4) (0, ): _x (0,) |(x)/(n+1)|। जैसे-जैसे x , (x)/(n+1) । तो, _x (0,) |(x)/(n+1)| = । चूंकि _n 0, श्रेणी इस अंतराल में एकसमान अभिसारी नहीं है। प्रश्न 88 का उत्तर: 4 प्रश्न 89 का उत्तर: 4 अगला प्रश्न भेजो 📸

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