If multiplication of complex numbers is defined as binary operation in set G = z ∈ C : |z|= 1 then (G, X) is -

समुच्चय $G = \{z \in \mathbb{C} : |z| = 1\}$ उन सभी सम्मिश्र संख्याओं का संग्रह है जिनका मापांक (modulus) 1 है। ये सम्मिश्र संख्याएँ सम्मिश्र तल में इकाई वृत्त पर स्थित होती हैं।
द्विआधारी संक्रिया सम्मिश्र संख्याओं का गुणन $(\times)$ है।

एक समुच्चय $(G, \times)$ को समूह होने के लिए निम्नलिखित चार गुणों को संतुष्ट करना चाहिए:

• संवृतता (Closure): यदि $z_1, z_2 \in G$, तो क्या $z_1 \times z_2 \in G$? यदि $z_1, z_2 \in G$, तो $|z_1| = 1$ और $|z_2| = 1$। सम्मिश्र संख्याओं के गुणन के मापांक का गुण है $|z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2|$। इसलिए, $|z_1 \times z_2| = 1 \times 1 = 1$। अतः, $z_1 \times z_2 \in G$। संवृतता का गुण संतुष्ट होता है।

• साहचर्यता (Associativity): सम्मिश्र संख्याओं का गुणन साहचर्य होता है। किसी भी $z_1, z_2, z_3 \in G$ के लिए, $(z_1 \times z_2) \times z_3 = z_1 \times (z_2 \times z_3)$। साहचर्यता का गुण संतुष्ट होता है।

• तत्समक अवयव (Identity Element): क्या $G$ में कोई तत्समक अवयव $e$ मौजूद है जैसे कि सभी $z \in G$ के लिए $z \times e = e \times z = z$? सम्मिश्र गुणन के लिए तत्समक अवयव 1 है। हमें यह जाँचने की आवश्यकता है कि क्या $1 \in G$ है। $|1| = 1$, इसलिए $1 \in G$। तत्समक अवयव मौजूद है।

• प्रतिलोम अवयव (Inverse Element): $G$ के प्रत्येक अवयव $z$ के लिए, क्या $G$ में एक प्रतिलोम अवयव $z^{-1}$ मौजूद है जैसे कि $z \times z^{-1} = z^{-1} \times z = 1$? मान लीजिए $z \in G$, तो $|z| = 1$। $z$ का प्रतिलोम $z^{-1} = \frac{1}{z}$ होता है। हमें यह जाँचने की आवश्यकता है कि क्या $z^{-1} \in G$ है। $|z^{-1}| = \left|\frac{1}{z}\right| = \frac{|1|}{|z|} = \frac{1}{1} = 1$। इसलिए, $z^{-1} \in G$। प्रत्येक अवयव का प्रतिलोम $G$ में मौजूद है।

चूंकि सभी चार समूह गुण (संवृतता, साहचर्यता, तत्समक अवयव, प्रतिलोम अवयव) संतुष्ट होते हैं, इसलिए $(G, \times)$ एक समूह है।

समुच्चय $G$ में अनंत अवयव हैं (जैसे $e^{i\theta}$ जहाँ $\theta \in [0, 2\pi)$)। यह समूह चक्रीय नहीं है क्योंकि इसमें कोई एकल जनक (generator) अवयव नहीं है जो समूह के सभी अवयवों को उत्पन्न कर सके। एक चक्रीय समूह या तो परिमित होता है या पूर्णांकों के योगात्मक समूह $(\mathbb{Z}, +)$ के समरूपी होता है, जो गणनीय (countable) होता है। इकाई वृत्त पर सम्मिश्र संख्याओं का समूह अगणनीय (uncountable) है।

दिए गए विकल्पों में से, $(G, \times)$ एक समूह है।

The final answer is $\text{(2) समूह}$.