Let z be the centre of a group G, then the set of all inner automorphisms on the group G to the group G is -

एक समूह $G$ के लिए, एक आंतरिक स्वाकारिता $\phi_a: G \to G$ को किसी $a \in G$ के लिए $\phi_a(x) = axa^{-1}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहाँ $x \in G$। समस्त आंतरिक स्वाकारिताओं का समुच्चय $\text{Inn}(G) = \{\phi_a \mid a \in G\}$ एक समूह बनाता है।

हम एक फलन $\psi: G \to \text{Aut}(G)$ को $\psi(a) = \phi_a$ द्वारा परिभाषित करते हैं।
यह फलन एक समाकारिता है क्योंकि:

और

जबकि

चूंकि $\phi_{ab}(x) = (\phi_a \circ \phi_b)(x)$, इसलिए $\psi(ab) = \psi(a) \circ \psi(b)$।

कर्नेल $\text{ker}(\psi) = \{a \in G \mid \psi(a) = \text{तत्समक स्वाकारिता}\}$।
तत्समक स्वाकारिता $id_G(x) = x$ है।
तो, $\text{ker}(\psi) = \{a \in G \mid \phi_a(x) = x \text{ सभी } x \in G \text{ के लिए}\}$।
$\phi_a(x) = x \implies axa^{-1} = x \implies ax = xa$।
यह समूह $G$ के केंद्र $Z(G)$ की परिभाषा है।
अतः, $\text{ker}(\psi) = Z(G)$।

प्रथम तुल्यकारिता प्रमेय के अनुसार, यदि $f: G \to H$ एक समाकारिता है, तो $G/\text{ker}(f) \cong \text{Im}(f)$।
हमारे मामले में, $\psi: G \to \text{Aut}(G)$ एक समाकारिता है जिसका कर्नेल $Z(G)$ है।
$\psi$ की छवि (image) $\text{Im}(\psi) = \{\psi(a) \mid a \in G\} = \{\phi_a \mid a \in G\} = \text{Inn}(G)$ है।
इसलिए, प्रथम तुल्यकारिता प्रमेय से, $G/Z(G) \cong \text{Inn}(G)$।

यह परिणाम बताता है कि समूह $G$ के केंद्र $Z(G)$ द्वारा $G$ का भागफल समूह $G/Z(G)$ आंतरिक स्वाकारिताओं के समूह $\text{Inn}(G)$ के तुल्यकारी (isomorphic) है।
प्रश्न "आंतरिक स्वाकारिताओं के समुच्चय $G$ से समूह $G/Z$ तक क्या है" पूछ रहा है। यह संबंध एक तुल्यकारिता है। एक तुल्यकारिता एक समाकारिता, एकैकी समाकारिता (monomorphism) और आच्छादक समाकारिता (epimorphism) तीनों होती है। विकल्पों में से, "केवल तुल्यकारिता" सबसे सटीक और व्यापक वर्णन है।

The final answer is $\text{(2) Isomorphism only}$.