If pq + qr + rp = 0, what is the value of (p2)/(p2 - qr) + (q2)/(q2 - rp) + (r2)/(r2 - pq)?

لومړی ګام: ورکړل شوې معادله وکاروئ.
موږ ته ورکړل شوې ده:

$$pq + qr + rp = 0$$

له دې معادلې څخه، موږ کولی شو د هرې اصطلاح لپاره بدیلونه ومومو.
د مثال په توګه:

$$-qr = pq + rp$$ $$-rp = pq + qr$$ $$-pq = qr + rp$$

دوهم ګام: د هرې برخې مخرج ساده کړئ.
اوس، موږ د هرې برخې مخرج ساده کوو.
د لومړۍ برخې لپاره:

$$p^2 - qr$$

موږ پوهیږو چې $-qr = pq + rp$. نو، موږ دا ځای په ځای کوو:

$$p^2 + pq + rp$$ $$p(p + q + r)$$

د دویمې برخې لپاره:

$$q^2 - rp$$

موږ پوهیږو چې $-rp = pq + qr$. نو، موږ دا ځای په ځای کوو:

$$q^2 + pq + qr$$ $$q(q + p + r)$$

د دریمې برخې لپاره:

$$r^2 - pq$$

موږ پوهیږو چې $-pq = qr + rp$. نو، موږ دا ځای په ځای کوو:

$$r^2 + qr + rp$$ $$r(r + q + p)$$

دریم ګام: ساده شوي مخرجونه په اصلي بیان کې ځای په ځای کړئ.
اوس، موږ ساده شوي مخرجونه په اصلي بیان کې ځای په ځای کوو:

$$\frac{p^2}{p(p + q + r)} + \frac{q^2}{q(q + p + r)} + \frac{r^2}{r(r + q + p)}$$

هرې برخې ته ساده کړئ:

$$\frac{p}{p + q + r} + \frac{q}{p + q + r} + \frac{r}{p + q + r}$$

څلورم ګام: ټولې برخې سره یوځای کړئ.
څرنګه چې ټولې برخې یو شان مخرج لري $(p + q + r)$، موږ کولی شو شمیرونکي سره یوځای کړو:

$$\frac{p + q + r}{p + q + r}$$

که $p + q + r \neq 0$ وي، نو بیان مساوي دی:

$$1$$

که $p+q+r=0$ وي، نو بیا $p+q=-r$, $q+r=-p$, $r+p=-q$.
له $pq+qr+rp=0$ څخه، که $p+q+r=0$ وي، نو $p^2-qr = p^2 - (-p(q+r)) = p^2+p(q+r) = p^2+p(-p) = p^2-p^2=0$.
دا به مخرج صفر کړي، کوم چې تعریف شوی نه دی. نو، موږ فرض کوو چې $p+q+r \neq 0$.