If (x-4)² + y² = 5 is the equation of the circle, find the centre and radius of the circle

Haya, twende tukatatue maswali haya.

Swali la 9: Tunapewa mlinganyo wa duara $(x-4)^2 + y^2 = 5$. Mlinganyo wa kawaida wa duara ni $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$, ambapo $(h,k)$ ni kituo na $r$ ni rediasi.

Step 1: Linganisha mlinganyo uliotolewa na mlinganyo wa kawaida. Kutoka $(x-4)^2 + y^2 = 5$, tunaweza kuandika upya $y^2$ kama $(y-0)^2$. Hivyo, mlinganyo unakuwa $(x-4)^2 + (y-0)^2 = 5$.

Step 2: Tambua kituo $(h,k)$ na $r^2$. Kwa kulinganisha, $h=4$ na $k=0$. Hivyo, kituo ni $(4,0)$. Pia, $r^2 = 5$.

Step 3: Tafuta rediasi $r$. $r = \sqrt{5}$ Kituo cha duara ni $\boxed{(4,0)}$ na rediasi ni $\boxed{\sqrt{5}}$.

Swali la 10: Sanduku lina kadi nyekundu (R) na bluu (B) tu, kwa uwiano wa 3:2. Hii inamaanisha idadi ya kadi nyekundu ni $3x$ na idadi ya kadi za bluu ni $2x$ kwa namba fulani $x$. Jumla ya kadi ni $N = 3x + 2x = 5x$. Kadi mbili zinachaguliwa bila kurudisha. Uwezekano wa kuchagua kadi za rangi tofauti ni $\frac{1}{2}$.

Step 1: Andika uwezekano wa kuchagua kadi ya kwanza. Uwezekano wa kuchagua kadi nyekundu ya kwanza ni $P(R_1) = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}$. Uwezekano wa kuchagua kadi ya bluu ya kwanza ni $P(B_1) = \frac{2x}{5x} = \frac{2}{5}$.

Step 2: Andika uwezekano wa kuchagua kadi ya pili baada ya ya kwanza bila kurudisha. Ikiwa kadi ya kwanza ilikuwa nyekundu, zimebaki kadi $5x-1$ jumla, na $3x-1$ nyekundu, $2x$ bluu. $P(R_2|R_1) = \frac{3x-1}{5x-1}$ $P(B_2|R_1) = \frac{2x}{5x-1}$

Ikiwa kadi ya kwanza ilikuwa bluu, zimebaki kadi $5x-1$ jumla, na $3x$ nyekundu, $2x-1$ bluu. $P(R_2|B_1) = \frac{3x}{5x-1}$ $P(B_2|B_1) = \frac{2x-1}{5x-1}$

Step 3: Tafuta uwezekano wa kuchagua kadi za rangi tofauti. Hii inaweza kutokea kwa njia mbili: (Nyekundu kisha Bluu) AU (Bluu kisha Nyekundu). $P(rangi tofauti) = P(R_1 na B_2) + P(B_1 na R_2)$ $P(rangi tofauti) = P(R_1) \cdot P(B_2|R_1) + P(B_1) \cdot P(R_2|B_1)$ $P(rangi tofauti) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2x}{5x-1} + \frac{2}{5} \cdot \frac{3x}{5x-1}$ $P(rangi tofauti) = \frac{6x}{5(5x-1)} + \frac{6x}{5(5x-1)}$ $P(rangi tofauti) = \frac{12x}{5(5x-1)}$

Step 4: Tumia taarifa kwamba uwezekano wa kuchagua kadi za rangi tofauti ni $\frac{1}{2}$. $\frac{12x}{5(5x-1)} = \frac{1}{2}$ $24x = 5(5x-1)$ $24x = 25x - 5$ $24x - 25x = -5$ $-x = -5$ $x = 5$

Step 5: Tafuta idadi kamili ya kadi kwenye sanduku. Jumla ya kadi $N = 5x$. $N = 5 \times 5 = 25$. Idadi ya kadi kwenye sanduku ni $\boxed{25}$.

Swali la 11: Eneo la kitu asili ni $5a^2 cm^2$. Eneo la picha ni $30a^2 cm^2$. Matrix ya mabadiliko ni $M = \begin{pmatrix} a & a-1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$.

Step 1: Tafuta determinant ya matrix ya mabadiliko. Determinant ya matrix $\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}$ ni $ps - qr$. $det(M) = (a)(4) - (a-1)(2)$ $det(M) = 4a - (2a - 2)$ $det(M) = 4a - 2a + 2$ $det(M) = 2a + 2$

Step 2: Tumia uhusiano kati ya eneo la kitu, eneo la picha, na determinant. Eneo la picha = $|det(M)| \times$ Eneo la kitu asili. $30a^2 = |2a+2| \times 5a^2$

Step 3: Tatua mlinganyo kwa $a$. Kumbuka kuwa $a$ inawakilisha sehemu ya eneo, hivyo $a^2$ lazima iwe chanya. Hivyo $a \neq 0$. Tunaweza kugawanya pande zote mbili kwa $5a^2$ (kwa kuwa $a \neq 0$). $\frac{30a^2}{5a^2} = |2a+2|$ $6 = |2a+2|$ Hii inamaanisha kuna uwezekano mbili: Kesi 1: $2a+2 = 6$ $2a = 6 - 2$ $2a = 4$ $a = 2$

Kesi 2: $2a+2 = -6$ $2a = -6 - 2$ $2a = -8$ $a = -4$

Kwa kuwa eneo la kitu asili ni $5a^2$ na eneo la picha ni $30a^2$, na $a$ ni sehemu ya matrix ya mabadiliko, $a$ inaweza kuwa chanya au hasi. Hata hivyo, kwa kawaida, vigezo vya matrix huchukuliwa kuwa halisi. Ikiwa $a=2$, basi $det(M) = 2(2)+2 = 6$. Ikiwa $a=-4$, basi $det(M) = 2(-4)+2 = -8+2 = -6$. Katika visa vyote viwili, $|det(M)| = 6$. Kwa hivyo, thamani za $a$ ni 2 au -4.

Thamani ya $a$ ni $\boxed{2 or -4}$.