This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
ScanSolve AI Answer
لإيجاد e^x x \, dx، سنستخدم التكامل بالتجزئة مرتين. صيغة التكامل بالتجزئة هي: u \, dv = uv - v \, du Step 1: طبق التكامل بالتجزئة للمرة الأولى. اختر u = e^x و dv = x \, dx. إذن du = e^x \, dx و v = x \, dx = - x. بتطبيق الصيغة: e^x x \, dx = e^x(- x) - (- x) e^x \, dx e^x x \, dx = -e^x x + e^x x \, dx (*) Step 2: طبق التكامل بالتجزئة للمرة الثانية على التكامل الجديد e^x x \, dx. اختر u = e^x و dv = x \, dx. إذن du = e^x \, dx و v = x \, dx = x. بتطبيق الصيغة: e^x x \, dx = e^x x - x \, e^x \, dx e^x x \, dx = e^x x - e^x x \, dx (**) Step 3: عوض نتيجة التكامل الثاني (*) في المعادلة الأولى (). دع I = e^x x \, dx. من المعادلة (*): I = -e^x x + e^x x \, dx. عوض قيمة e^x x \, dx من المعادلة (**): I = -e^x x + (e^x x - I) I = -e^x x + e^x x - I Step 4: حل المعادلة لإيجاد I. أضف I إلى طرفي المعادلة: 2I = -e^x x + e^x x 2I = e^x ( x - x) اقسم على 2 وأضف ثابت التكامل C: I = (1)/(2) e^x ( x - x) + C الجواب النهائي هو: (1)/(2) e^x ( x - x) + C That's 2 down. 3 left today — send the next one.