Calculate the integral of e^x sin(x) dx using integration by parts twice.

اختر $u = e^x$ و $dv = \sin x \, dx$.
إذن $du = e^x \, dx$ و $v = \int \sin x \, dx = -\cos x$.
بتطبيق الصيغة:

$$\int e^x \sin x \, dx = e^x(-\cos x) - \int (-\cos x) e^x \, dx$$ $$\int e^x \sin x \, dx = -e^x \cos x + \int e^x \cos x \, dx \quad (*)$$

اختر $u = e^x$ و $dv = \cos x \, dx$.
إذن $du = e^x \, dx$ و $v = \int \cos x \, dx = \sin x$.
بتطبيق الصيغة:

$$\int e^x \cos x \, dx = e^x \sin x - \int \sin x \, e^x \, dx$$ $$\int e^x \cos x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \sin x \, dx \quad (**)$$

دع $I = \int e^x \sin x \, dx$.
من المعادلة (*): $I = -e^x \cos x + \int e^x \cos x \, dx$.
عوض قيمة $\int e^x \cos x \, dx$ من المعادلة (**):

$$I = -e^x \cos x + (e^x \sin x - I)$$ $$I = -e^x \cos x + e^x \sin x - I$$

أضف $I$ إلى طرفي المعادلة:

$$2I = -e^x \cos x + e^x \sin x$$ $$2I = e^x (\sin x - \cos x)$$

اقسم على 2 وأضف ثابت التكامل $C$:

$$I = \frac{1}{2} e^x (\sin x - \cos x) + C$$

الجواب النهائي هو:

$$\frac{1}{2} e^x (\sin x - \cos x) + C$$