This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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Voici la correction de l'exercice 6 : Exercice 6 : Étude d'une fonction Soit la fonction f définie sur R par f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. 1. Calcul de la dérivée Étape 1 : Calculer la dérivée f'(x). f'(x) = (d)/(dx)(x^3 - 3x^2 + 4) = 3x^2 - 6x. 2. Signe de la dérivée et tableau de variations Étape 1 : Trouver les racines de f'(x) = 0. 3x^2 - 6x = 0 3x(x - 2) = 0. Les racines sont x_1 = 0 et x_2 = 2. Étape 2 : Déterminer le signe de f'(x). f'(x) est un trinôme du second degré avec a = 3 > 0. Il est positif à l'extérieur des racines et négatif entre les racines. f'(x) > 0 pour x ]- ; 0[ ]2 ; +[ f'(x) < 0 pour x ]0 ; 2[ Étape 3 : Construire le tableau de variations. | x | - | 0 | 2 | + | | :----- | :---------------- | :-------- | :-------- | :---------------- | | f'(x) | + | 0 | - | 0 | + | | f(x) | | f(0) | | f(2) | | + | | | - | | | | | | 3. Calcul des extremums Étape 1 : Calculer f(0). f(0) = (0)^3 - 3(0)^2 + 4 = 4. C'est un maximum local. Étape 2 : Calculer f(2). f(2) = (2)^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0. C'est un minimum local. 4. Limites aux bornes Étape 1 : Calculer _x - f(x). _x - (x^3 - 3x^2 + 4) = _x - x^3 = -. Étape 2 : Calculer _x + f(x). _x + (x^3 - 3x^2 + 4) = _x + x^3 = +. 5. Étude du signe de f(x) Étape 1 : Identifier les racines de f(x). D'après les variations, f(x) s'annule en x=2. On peut vérifier que f(2) = 0. Étape 2 : Déterminer le signe de f(x). f(x) 0 pour x ]- ; 2] f(x) 0 pour x [2 ; +[ Envoie la suite 📸