Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O, I, J). On désigne par Ω, A et B les points d'affixes respectives zΩ, zA et zB telles que zΩ = 1 + i, zA = 1 et zB = 3/2 + 1/2 i.

Voici la résolution des exercices demandés. EXERCICE 4 (3 points) Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O, i, j). On désigne par , A et B les points d'affixes respectives z_ = 1 + i, z_A = 1 et z_B = (3)/(2) + (1)/(2)i. 1. Similitude directe S de centre qui transforme A en B. a) Justifions que z_B - z_z_A - z_ = sqrt(2)2e^i()/(4). Calculons z_B - z_ : z_B - z_ = ((3)/(2) + (1)/(2)i) - (1 + i) = (3)/(2) - 1 + (1)/(2)i - i = (1)/(2) - (1)/(2)i Calculons z_A - z_ : z_A - z_ = 1 - (1 + i) = -i Calculons le rapport : z_B - z_z_A - z_ = (1)/(2) - (1)/(2)i-i = (1)/(2)(1 - i)-i = (1 - i)/(-2i) = ((1 - i)i)/(-2i^2) = (i - i^2)/(2) = (1 + i)/(2) = (1)/(2) + (1)/(2)i Mettons (1)/(2) + (1)/(2)i sous forme exponentielle. Le module est r = |(1)/(2) + (1)/(2)i| = sqrt(((1)/(2))^2 + ((1)/(2))^2) = sqrt((1)/(4) + (1)/(4)) = sqrt((2)/(4)) = sqrt((1)/(2)) = (1)/(sqrt(2)) = sqrt(2)2. L'argument vérifie = (1/2)/(sqrt(2)/2) = sqrt(2)2 et = (1/2)/(sqrt(2)/2) = sqrt(2)2. Donc = ()/(4). Ainsi, z_B - z_z_A - z_ = sqrt(2)2e^i()/(4). b) Déduisons de 1.a) que S a pour rapport sqrt(2)2 et pour angle ()/(4). L'écriture complexe d'une similitude directe de centre est z' - z_ = k e^i (z - z_), où k est le rapport et est l'angle. Puisque S transforme A en B, on a z_B - z_ = k e^i (z_A - z_). D'où k e^i = z_B - z_z_A - z_. En utilisant le résultat de la question 1.a), on a k e^i = sqrt(2)2e^i()/(4). Par identification, le rapport de la similitude S est k = sqrt(2)2 et son angle est = ()/(4). c) Démontrons que l'écriture complexe de S est z' = ((1)/(2) + (1)/(2)i)z + 1. L'écriture complexe d'une similitude directe est z' = az + b, où a = k e^i et b = z_(1 - a). D'après la question 1.b), a = sqrt(2)2e^i()/(4) = sqrt(2)2((()/(4)) + i(()/(4))) = sqrt(2)2(sqrt(2)2 + isqrt(2)2) = (2)/(4) + i(2)/(4) = (1)/(2) + (1)/(2)i. Calculons b : b = z_(1 - a) = (1 + i)(1 - ((1)/(2) + (1)/(2)i)) = (1 + i)((1)/(2) - (1)/(2)i) b = (1)/(2)(1 + i)(1 - i) = (1)/(2)(1^2 - i^2) = (1)/(2)(1 - (-1)) = (1)/(2)(2) = 1 Donc, l'écriture complexe de S est z' = ((1)/(2) + (1)/(2)i)z + 1. 2. Point K, image du point J par la similitude directe S. a) Justifions que l'affixe du point K est z_K = (1)/(2) + (1)/(2)i. Le point J a pour affixe z_J = i (car J est le point (0,1) du repère). K est l'image de J par S, donc z_K = ((1)/(2) + (1)/(2)i)z_J + 1. z_K = ((1)/(2) + (1)/(2)i)i + 1 = (1)/(2)i + (1)/(2)i^2 + 1 = (1)/(2)i - (1)/(2) + 1 = (1)/(2) + (1)/(2)i L'affixe du point K est bien z_K = (1)/(2) + (1)/(2)i. b) Démontrons que les points O, K et sont alignés. Les points O, K et sont alignés si le rapport (z_K - z_O)/(z_) - z_O est un nombre réel. On a z_O = 0. Le rapport est (z_K)/(z_) = (1)/(2) + (1)/(2)i1 + i = (1)/(2)(1 + i)1 + i = (1)/(2). Puisque (z_K)/(z_) = (1)/(2) est un nombre réel, les points O, K et sont alignés. De plus, z_K = (1)/(2)z_, ce qui signifie que K est le milieu du segment [O]. EXERCICE 5 (5 points) Soit f la fonction numérique définie sur [0; +[ par f(x) = xe^-x. On note (C) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, i, j). L'unité graphique est 2 cm. 1. Étude de la fonction f. a) Déterminons la limite de f en +. _x + f(x) = _x + xe^-x = _x + (x)/(e^x) C'est une forme indéterminée de type ()/(). Par croissance comparée, on sait que _x + (e^x)/(x) = +, donc _x + (x)/(e^x) = 0. _x + f(x) = 0 b) On admet que f est dérivable sur [0; +[. Justifions que x [0; +[, f'(x) = (1-x)e^-x. La fonction f(x) est de la forme u(x)v(x) avec u(x) = x et v(x) = e^-x. On a u'(x) = 1 et v'(x) = -e^-x. La dérivée f'(x) est donnée par u'(x)v(x) + u(x)v'(x) : f'(x) = 1 · e^-x + x · (-e^-x) = e^-x - xe^-x = e^-x(1 - x) Donc, f'(x) = (1-x)e^-x. c) Démontrons que f est strictement croissante sur [0; 1] et strictement décroissante sur [1; +[. Le signe de f'(x) dépend du signe de (1-x) car e^-x > 0 pour tout x [0; +[. Si x [0; 1], alors 1-x 0. Donc f'(x) 0. Plus précisément, pour x [0; 1[, 1-x > 0, donc f'(x) > 0. La fonction f est donc strictement croissante* sur [0; 1]. Si x [1; +[, alors 1-x 0. Donc f'(x) 0. Plus précisément, pour x ]1; +[, 1-x < 0, donc f'(x) < 0. La fonction f est donc strictement décroissante* sur [1; +[. d) Dressons le tableau de variation de f. Calculons les valeurs aux bornes et au point critique : f(0) = 0 · e^0 = 0. f(1) = 1 · e^-1 = (1)/(e). _x + f(x) = 0. | x | 0 | 1 | + | | :------------- | :---- | :-------- | :-------- | | 1-x | + | 0 | - | | e^-x | + | + | + | | f'(x) | + | 0 | - | | f(x) | 0 | | (1)/(e) | | 0 | e) Construisons (C) dans le repère (O, I, J). La courbe (C) part de l'origine (0,0), monte jusqu'à un maximum local en (1, (1)/(e)) (environ (1; 0,37)), puis décroît et se rapproche de l'axe des abscisses (asymptote horizontale y=0) en +. 2. Démontrons que l'équation f(x) = (1)/(2) admet une unique solution dans [0; 1]. Sur l'intervalle [0; 1], la fonction f est continue et strictement croissante. f(0) = 0. f(1) = (1)/(e) ≈ 0,3678. La valeur (1)/(2) = 0,5. Puisque f(1) = (1)/(e) < (1)/(2), la valeur (1)/(2) n'est pas comprise entre f(0) et f(1). Par conséquent, l'équation f(x) = (1)/(2) n'admet aucune solution dans l'intervalle [0; 1]. Il semble y avoir une erreur dans l'énoncé de cette question, car le maximum de f(x) sur [0; +[ est (1)/(e) ≈ 0,3678, qui est inférieur à (1)/(2). L'équation f(x) = (1)/(2) n'a donc aucune solution sur [0; +[. 3. On considère la suite (u_n) définie par : n N, u_n+1 = u_n e^-u_n avec u_0 = . Note : Compte tenu de l'impossibilité de définir à partir de la question 2, nous allons supposer que u_0 = est un réel positif quelconque pour lequel la suite est bien définie et que les propriétés demandées peuvent être démontrées. a) Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel n, u_n > 0. Initialisation : Pour n=0, on a u_0 = . Si l'on suppose que > 0 (ce qui serait le cas si f() était une valeur positive), alors u_0 > 0. Hérédité : Supposons que pour un certain entier naturel n, u_n > 0. Alors e^-u_n > 0. Donc u_n+1 = u_n e^-u_n est le produit de deux nombres strictement positifs, ce qui implique u_n+1 > 0. Conclusion : D'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, u_n > 0. b) Démontrons que la suite (u_n) est décroissante. Étudions le signe de la différence u_n+1 - u_n : u_n+1 - u_n = u_n e^-u_n - u_n = u_n (e^-u_n - 1) D'après la question 3.a), u_n > 0. Pour tout x > 0, on sait que e^-x < 1. Puisque u_n > 0, on a e^-u_n < 1, ce qui implique e^-u_n - 1 < 0. Par conséquent, u_n (e^-u_n - 1) < 0. Donc u_n+1 - u_n < 0, ce qui signifie u_n+1 < u_n. La suite (u_n) est donc strictement décroissante. c) Justifions que la suite (u_n) est convergente. La suite (u_n) est strictement décroissante (d'après 3.b)) et minorée par 0 (d'après 3.a)). Toute suite décroissante et minorée est convergente. Donc, la suite (u_n) est convergente. d) Déterminons la limite de la suite (u_n). Soit L la limite de la suite (u_n). Puisque u_n+1 = f(u_n) et que la fonction f est continue sur [0; +[, la limite L doit vérifier l'équation L = f(L). L = L e^-L L - L e^-L = 0 L(1 - e^-L) = 0 Cette équation a deux solutions possibles : L = 0. 1 - e^-L = 0 e^-L = 1 -L = 0 L = 0. Dans les deux cas, la seule solution est L=0. La limite de la suite (u_n) est 0. EXERCICE 6 (5 points) Une coopérative agricole possède un terrain qui a la forme d'un quart de disque de rayon 1 km. La parcelle hachurée est réservée à la culture des tomates. L'aire de cette parcelle est donnée par A(x) = xsqrt(1-x^2)2, où x = OH et x [0; 1]. Déterminer l'aire maximale de la parcelle de tomates et répondre à la préoccupation du gérant. 1. Déterminons l'aire maximale. L'aire de la parcelle est donnée par A(x) = xsqrt(1-x^2)2 pour x [0; 1]. Pour trouver l'aire maximale, nous devons dériver A(x) et chercher les points où la dérivée s'annule. Soit A(x) = (1)/(2) x sqrt(1-x^2). Nous utilisons la règle de dérivation du produit (uv)' = u'v + uv'. Posons u(x) = x et v(x) = sqrt(1-x^2). Alors u'(x) = 1. Et v'(x) = (-2x)/(2sqrt(1-x^2)) = (-x)/(sqrt(1-x^2)). A'(x) = (1)/(2) ( 1 · sqrt(1-x^2) + x · (-x)/(sqrt(1-x^2)) ) A'(x) = (1)/(2) ( sqrt(1-x^2)sqrt(1-x^2) - x^2sqrt(1-x^2) ) A'(x) = (1)/(2) ( (1-x^2 - x^2)/(sqrt(1-x^2)) ) A'(x) = (1-2x^2)/(2sqrt(1-x^2)) Pour trouver le maximum, nous résolvons A'(x) = 0 : (1-2x^2)/(2sqrt(1-x^2)) = 0 Ceci implique 1-2x^2 = 0. 2x^2 = 1 x^2 = (1)/(2) x = sqrt((1)/(2)) = (1)/(sqrt(2)) = sqrt(2)2 (Nous prenons la valeur positive car x [0; 1]). Étudions le signe de A'(x) : le dénominateur 2sqrt(1-x^2) est positif pour x [0; 1[. Le signe de A'(x) est donc celui de 1-2x^2. Si x < sqrt(2)2, alors x^2 < (1)/(2), donc 1-2x^2 > 0. A'(x) > 0, la fonction A(x) est croissante. Si x > sqrt(2)2, alors x^2 > (1)/(2), donc 1-2x^2 < 0. A'(x) < 0, la fonction A(x) est décroissante. La fonction A(x) atteint donc un maximum pour x = sqrt(2)2. Calculons cette aire maximale : A(sqrt(2)2) = sqrt(2)2sqrt(1 - (2)2)^22 A(sqrt(2)2) = sqrt(2)2sqrt(1 - (2)/(4))2 = sqrt(2)2sqrt(1 - (1)/(2))2 A(sqrt(2)2) = sqrt(2)2sqrt((1)/(2))2 = sqrt(2)2 · (1)/(sqrt(2))2 = (1)/(2)2 = (1)/(4) L'aire maximale est de (1)/(4) km^2. 2. Réponse à la préoccupation du gérant. L'aire maximale que la parcelle de tomates peut atteindre est de (1)/(4) km^2. Cette aire est obtenue lorsque la longueur OH est égale à sqrt(2)2 km. Last free one today — make it count tomorrow, or type /upgrade for unlimited.