Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O, I, J). On désigne par Ω, A et B les points d'affixes respectives zΩ, zA et zB telles que zΩ = 1 + i, zA = 1 et zB = 3/2 + 1/2 i.

Voici la résolution des exercices demandés.

EXERCICE 4 (3 points)

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j})$. On désigne par $\Omega$, A et B les points d'affixes respectives $z_{\Omega} = 1 + i$, $z_A = 1$ et $z_B = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}i$.

1. Similitude directe S de centre $\Omega$ qui transforme A en B.

• a) Justifions que $\frac{z_B - z_{\Omega}}{z_A - z_{\Omega}} = \frac{\sqrt{2}}{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$.

  • Calculons $z_B - z_{\Omega}$ : $$z_B - z_{\Omega} = \left(\frac{3}{2} + \frac{1}{2}i\right) - (1 + i) = \frac{3}{2} - 1 + \frac{1}{2}i - i = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$$
  • Calculons $z_A - z_{\Omega}$ : $$z_A - z_{\Omega} = 1 - (1 + i) = -i$$
  • Calculons le rapport : $$\frac{z_B - z_{\Omega}}{z_A - z_{\Omega}} = \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i}{-i} = \frac{\frac{1}{2}(1 - i)}{-i} = \frac{1 - i}{-2i} = \frac{(1 - i)i}{-2i^2} = \frac{i - i^2}{2} = \frac{1 + i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$$
  • Mettons $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$ sous forme exponentielle. Le module est $r = \left|\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\right| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. L'argument $\theta$ vérifie $\cos \theta = \frac{1/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin \theta = \frac{1/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Donc $\theta = \frac{\pi}{4}$.
  • Ainsi, $\frac{z_B - z_{\Omega}}{z_A - z_{\Omega}} = \frac{\sqrt{2}}{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$.

• b) Déduisons de 1.a) que S a pour rapport $\frac{\sqrt{2}}{2}$ et pour angle $\frac{\pi}{4}$. L'écriture complexe d'une similitude directe de centre $\Omega$ est $z' - z_{\Omega} = k e^{i\theta} (z - z_{\Omega})$, où $k$ est le rapport et $\theta$ est l'angle. Puisque S transforme A en B, on a $z_B - z_{\Omega} = k e^{i\theta} (z_A - z_{\Omega})$. D'où $k e^{i\theta} = \frac{z_B - z_{\Omega}}{z_A - z_{\Omega}}$. En utilisant le résultat de la question 1.a), on a $k e^{i\theta} = \frac{\sqrt{2}}{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$. Par identification, le rapport de la similitude S est $k = \boxed{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ et son angle est $\theta = \boxed{\frac{\pi}{4}}$.

• c) Démontrons que l'écriture complexe de S est $z' = \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\right)z + 1$. L'écriture complexe d'une similitude directe est $z' = az + b$, où $a = k e^{i\theta}$ et $b = z_{\Omega}(1 - a)$. D'après la question 1.b), $a = \frac{\sqrt{2}}{2}e^{i\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{2}{4} + i\frac{2}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$. Calculons $b$ :

  $$b = z_{\Omega}(1 - a) = (1 + i)\left(1 - \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\right)\right) = (1 + i)\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i\right)$$ $$b = \frac{1}{2}(1 + i)(1 - i) = \frac{1}{2}(1^2 - i^2) = \frac{1}{2}(1 - (-1)) = \frac{1}{2}(2) = 1$$

  Donc, l'écriture complexe de S est $z' = \boxed{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\right)z + 1}$.

2. Point K, image du point J par la similitude directe S.

• a) Justifions que l'affixe du point K est $z_K = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$. Le point J a pour affixe $z_J = i$ (car J est le point $(0,1)$ du repère). K est l'image de J par S, donc $z_K = \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\right)z_J + 1$.

  $$z_K = \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\right)i + 1 = \frac{1}{2}i + \frac{1}{2}i^2 + 1 = \frac{1}{2}i - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$$

  L'affixe du point K est bien $z_K = \boxed{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i}$.

• b) Démontrons que les points O, K et $\Omega$ sont alignés. Les points O, K et $\Omega$ sont alignés si le rapport $\frac{z_K - z_O}{z_{\Omega} - z_O}$ est un nombre réel. On a $z_O = 0$. Le rapport est $\frac{z_K}{z_{\Omega}} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i}{1 + i} = \frac{\frac{1}{2}(1 + i)}{1 + i} = \frac{1}{2}$. Puisque $\frac{z_K}{z_{\Omega}} = \frac{1}{2}$ est un nombre réel, les points O, K et $\Omega$ sont alignés. De plus, $z_K = \frac{1}{2}z_{\Omega}$, ce qui signifie que K est le milieu du segment $[O\Omega]$.

EXERCICE 5 (5 points)

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $[0; +\infty[$ par $f(x) = xe^{-x}$. On note (C) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$. L'unité graphique est 2 cm.

1. Étude de la fonction f.

• a) Déterminons la limite de f en $+\infty$.

  $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} xe^{-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x}$$

  C'est une forme indéterminée de type $\frac{\infty}{\infty}$. Par croissance comparée, on sait que $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$, donc $\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = 0$.

  $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \boxed{0}$$

• b) On admet que f est dérivable sur $[0; +\infty[$. Justifions que $\forall x \in [0; +\infty[, f'(x) = (1-x)e^{-x}$. La fonction $f(x)$ est de la forme $u(x)v(x)$ avec $u(x) = x$ et $v(x) = e^{-x}$. On a $u'(x) = 1$ et $v'(x) = -e^{-x}$. La dérivée $f'(x)$ est donnée par $u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$ :

  $$f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x} - xe^{-x} = e^{-x}(1 - x)$$

  Donc, $f'(x) = \boxed{(1-x)e^{-x}}$.

• c) Démontrons que f est strictement croissante sur $[0; 1]$ et strictement décroissante sur $[1; +\infty[$. Le signe de $f'(x)$ dépend du signe de $(1-x)$ car $e^{-x} > 0$ pour tout $x \in [0; +\infty[$.

  • Si $x \in [0; 1]$, alors $1-x \ge 0$. Donc $f'(x) \ge 0$. Plus précisément, pour $x \in [0; 1[$, $1-x > 0$, donc $f'(x) > 0$. La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0; 1]$.
  • Si $x \in [1; +\infty[$, alors $1-x \le 0$. Donc $f'(x) \le 0$. Plus précisément, pour $x \in ]1; +\infty[$, $1-x < 0$, donc $f'(x) < 0$. La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $[1; +\infty[$.

• d) Dressons le tableau de variation de f. Calculons les valeurs aux bornes et au point critique : $f(0) = 0 \cdot e^0 = 0$. $f(1) = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}$. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$.

  $x$	0	1	$+\infty$
  $1-x$	$+$	0	$-$
  $e^{-x}$	$+$	$+$	$+$
  $f'(x)$	$+$	0	$-$
  $f(x)$	0	$\nearrow$	$\frac{1}{e}$	$\searrow$	0

• e) Construisons (C) dans le repère (O, I, J). La courbe (C) part de l'origine $(0,0)$, monte jusqu'à un maximum local en $(1, \frac{1}{e})$ (environ $(1; 0,37)$), puis décroît et se rapproche de l'axe des abscisses (asymptote horizontale $y=0$) en $+\infty$.

2. Démontrons que l'équation $f(x) = \frac{1}{2}$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[0; 1]$.
Sur l'intervalle $[0; 1]$, la fonction $f$ est continue et strictement croissante.
$f(0) = 0$.
$f(1) = \frac{1}{e} \approx 0,3678$.
La valeur $\frac{1}{2} = 0,5$.
Puisque $f(1) = \frac{1}{e} < \frac{1}{2}$, la valeur $\frac{1}{2}$ n'est pas comprise entre $f(0)$ et $f(1)$.
Par conséquent, l'équation $f(x) = \frac{1}{2}$ n'admet aucune solution dans l'intervalle $[0; 1]$.
Il semble y avoir une erreur dans l'énoncé de cette question, car le maximum de $f(x)$ sur $[0; +\infty[$ est $\frac{1}{e} \approx 0,3678$, qui est inférieur à $\frac{1}{2}$. L'équation $f(x) = \frac{1}{2}$ n'a donc aucune solution sur $[0; +\infty[$.

3. On considère la suite $(u_n)$ définie par : $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n e^{-u_n}$ avec $u_0 = \alpha$.
Note : Compte tenu de l'impossibilité de définir $\alpha$ à partir de la question 2, nous allons supposer que $u_0 = \alpha$ est un réel positif quelconque pour lequel la suite est bien définie et que les propriétés demandées peuvent être démontrées.

• a) Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n > 0$.

  • Initialisation : Pour $n=0$, on a $u_0 = \alpha$. Si l'on suppose que $\alpha > 0$ (ce qui serait le cas si $f(\alpha)$ était une valeur positive), alors $u_0 > 0$.
  • Hérédité : Supposons que pour un certain entier naturel $n$, $u_n > 0$. Alors $e^{-u_n} > 0$. Donc $u_{n+1} = u_n e^{-u_n}$ est le produit de deux nombres strictement positifs, ce qui implique $u_{n+1} > 0$.
  • Conclusion : D'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $u_n > 0$.

• b) Démontrons que la suite $(u_n)$ est décroissante. Étudions le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ :

  $$u_{n+1} - u_n = u_n e^{-u_n} - u_n = u_n (e^{-u_n} - 1)$$

  D'après la question 3.a), $u_n > 0$. Pour tout $x > 0$, on sait que $e^{-x} < 1$. Puisque $u_n > 0$, on a $e^{-u_n} < 1$, ce qui implique $e^{-u_n} - 1 < 0$. Par conséquent, $u_n (e^{-u_n} - 1) < 0$. Donc $u_{n+1} - u_n < 0$, ce qui signifie $u_{n+1} < u_n$. La suite $(u_n)$ est donc strictement décroissante.

• c) Justifions que la suite $(u_n)$ est convergente. La suite $(u_n)$ est strictement décroissante (d'après 3.b)) et minorée par 0 (d'après 3.a)). Toute suite décroissante et minorée est convergente. Donc, la suite $(u_n)$ est convergente.

• d) Déterminons la limite de la suite $(u_n)$. Soit $L$ la limite de la suite $(u_n)$. Puisque $u_{n+1} = f(u_n)$ et que la fonction $f$ est continue sur $[0; +\infty[$, la limite $L$ doit vérifier l'équation $L = f(L)$.

  $$L = L e^{-L}$$ $$L - L e^{-L} = 0$$ $$L(1 - e^{-L}) = 0$$

  Cette équation a deux solutions possibles :

  • $L = 0$.
  • $1 - e^{-L} = 0 \implies e^{-L} = 1 \implies -L = 0 \implies L = 0$. Dans les deux cas, la seule solution est $L=0$. La limite de la suite $(u_n)$ est $\boxed{0}$.

EXERCICE 6 (5 points)

Une coopérative agricole possède un terrain qui a la forme d'un quart de disque de rayon 1 km. La parcelle hachurée est réservée à la culture des tomates. L'aire de cette parcelle est donnée par $A(x) = \frac{x\sqrt{1-x^2}}{2}$, où $x = OH$ et $x \in [0; 1]$.

Déterminer l'aire maximale de la parcelle de tomates et répondre à la préoccupation du gérant.

1. Déterminons l'aire maximale.
L'aire de la parcelle est donnée par $A(x) = \frac{x\sqrt{1-x^2}}{2}$ pour $x \in [0; 1]$.
Pour trouver l'aire maximale, nous devons dériver $A(x)$ et chercher les points où la dérivée s'annule.
Soit $A(x) = \frac{1}{2} x \sqrt{1-x^2}$. Nous utilisons la règle de dérivation du produit $(uv)' = u'v + uv'$.
Posons $u(x) = x$ et $v(x) = \sqrt{1-x^2}$.
Alors $u'(x) = 1$.
Et $v'(x) = \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$.

$$A'(x) = \frac{1}{2} \left( 1 \cdot \sqrt{1-x^2} + x \cdot \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} \right)$$ $$A'(x) = \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-x^2} - x^2}{\sqrt{1-x^2}} \right)$$ $$A'(x) = \frac{1}{2} \left( \frac{1-x^2 - x^2}{\sqrt{1-x^2}} \right)$$ $$A'(x) = \frac{1-2x^2}{2\sqrt{1-x^2}}$$

Pour trouver le maximum, nous résolvons $A'(x) = 0$ :

$$\frac{1-2x^2}{2\sqrt{1-x^2}} = 0$$

Ceci implique $1-2x^2 = 0$.

$$2x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

(Nous prenons la valeur positive car $x \in [0; 1]$).
Étudions le signe de $A'(x)$ : le dénominateur $2\sqrt{1-x^2}$ est positif pour $x \in [0; 1[$. Le signe de $A'(x)$ est donc celui de $1-2x^2$.

• Si $x < \frac{\sqrt{2}}{2}$, alors $x^2 < \frac{1}{2}$, donc $1-2x^2 > 0$. $A'(x) > 0$, la fonction $A(x)$ est croissante.
• Si $x > \frac{\sqrt{2}}{2}$, alors $x^2 > \frac{1}{2}$, donc $1-2x^2 < 0$. $A'(x) < 0$, la fonction $A(x)$ est décroissante. La fonction $A(x)$ atteint donc un maximum pour $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Calculons cette aire maximale :

$$A\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}}{2}$$ $$A\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{1 - \frac{2}{4}}}{2} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{1 - \frac{1}{2}}}{2}$$ $$A\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{2} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$$

L'aire maximale est de $\boxed{\frac{1}{4} \text{ km}^2}$.

2. Réponse à la préoccupation du gérant.
L'aire maximale que la parcelle de tomates peut atteindre est de $\frac{1}{4} \text{ km}^2$. Cette aire est obtenue lorsque la longueur $OH$ est égale à $\frac{\sqrt{2}}{2} \text{ km}$.