احسب النهايات التالية :lim x2-16/lim sin x-π/4x→16/lim √x+125-5/x→0x→04 + 42. باستعمال العدد المشتق، حدد النهاية التالية:3. قارن العددين : √5 و √244. بسط العدد B حيث: B = 51/4 x √5-1/2 x 54 / 21/3 x (51/3) x √2-65. حدد الدوال المشتقة للدوال التالية: f(x) = √3x²+2x−5 g(x) = cos(4x²+x)

$$= \frac{4 - 16}{-2} = \frac{-12}{-2} = 6$$

الجواب النهائي: $\boxed{6}$

$$\frac{\sqrt{0+25} - 5}{0} = \frac{\sqrt{25} - 5}{0} = \frac{5 - 5}{0} = \frac{0}{0}$$

هذه صيغة غير محددة، لذا نضرب البسط والمقام في مرافق البسط.

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+25} - 5}{x} \times \frac{\sqrt{x+25} + 5}{\sqrt{x+25} + 5}$$ $$= \lim_{x \to 0} \frac{(x+25) - 5^2}{x(\sqrt{x+25} + 5)}$$

$$= \lim_{x \to 0} \frac{x+25 - 25}{x(\sqrt{x+25} + 5)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x+25} + 5)}$$ $$= \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+25} + 5}$$

$$= \frac{1}{\sqrt{0+25} + 5} = \frac{1}{\sqrt{25} + 5} = \frac{1}{5 + 5} = \frac{1}{10}$$

الجواب النهائي (بافتراض التصحيح): $\boxed{\frac{1}{10}}$

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a)$$

هنا $f(x) = \sin x$ و $a = \frac{\pi}{4}$.
نحسب $f(a)$: $f(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$$f'(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

الجواب النهائي: $\boxed{\frac{\sqrt{2}}{2}}$