Loci Using a ruler and a pair of compasses only, a. Construct a triangle ABC such that angle ABC = 135°C, AB = 8.2cm and BC = 9.6cm b. Given that D is a position equidistant from both AB and BC and also from B and C i. Locate D ii. Find the area of triangle DBC.

1.a) Kujenga pembetatu ABC
Huu ni ujenzi wa pembetatu kwa kutumia pande mbili na pembe moja (SAS).

• Hatua ya 1: Chora mstari wa urefu wa $AB = 8.2 \text{ cm}$.
• Hatua ya 2: Katika ncha $B$, jenga pembe ya $135^\circ$.
• Hatua ya 3: Kwenye mkono wa pembe ya $135^\circ$, pima $9.6 \text{ cm}$ kutoka $B$ ili kupata ncha $C$.
• Hatua ya 4: Unganisha ncha $A$ na $C$ kukamilisha pembetatu $ABC$.

1.b) i) Kupata ncha D

• Hatua ya 1: Kwa kuwa $D$ iko umbali sawa kutoka $AB$ na $BC$, $D$ iko kwenye bisector ya pembe ya $\angle ABC$. Jenga bisector ya pembe ya $\angle ABC$.
• Hatua ya 2: Kwa kuwa $D$ iko umbali sawa kutoka $B$ na $C$, $D$ iko kwenye bisector ya perpendicular ya mstari $BC$. Jenga bisector ya perpendicular ya $BC$.
• Hatua ya 3: Ncha $D$ ni mahali ambapo bisector ya pembe ya $\angle ABC$ na bisector ya perpendicular ya $BC$ zinakutana.

1.b) ii) Kupata eneo la pembetatu DBC

Tunajua $BC = 9.6 \text{ cm}$.
Kwa kuwa $D$ iko kwenye bisector ya pembe ya $\angle ABC$, $\angle DBC = \frac{1}{2} \angle ABC$.

$$\angle DBC = \frac{1}{2} \times 135^\circ = 67.5^\circ$$

Kwa kuwa $D$ iko kwenye bisector ya perpendicular ya $BC$, ikiwa $M$ ni katikati ya $BC$, basi $DM$ ni perpendicular kwa $BC$. Hivyo, $DM$ ni urefu wa pembetatu $DBC$ na $BM = \frac{1}{2} BC$.

$$BM = \frac{1}{2} \times 9.6 \text{ cm} = 4.8 \text{ cm}$$

Katika pembetatu ya kulia $\triangle DBM$:

$$\tan(\angle DBM) = \frac{DM}{BM}$$ $$\tan(67.5^\circ) = \frac{DM}{4.8 \text{ cm}}$$ $$DM = 4.8 \times \tan(67.5^\circ)$$

Tunajua $\tan(67.5^\circ) = \sqrt{2} + 1 \approx 2.4142$.

$$DM = 4.8 \times (\sqrt{2} + 1) \text{ cm}$$ $$DM \approx 4.8 \times 2.4142 \text{ cm}$$ $$DM \approx 11.588 \text{ cm}$$

Eneo la pembetatu $DBC$ ni:

$$\text{Eneo} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$$ $$\text{Eneo} = \frac{1}{2} \times BC \times DM$$ $$\text{Eneo} = \frac{1}{2} \times 9.6 \text{ cm} \times (4.8 \times (\sqrt{2} + 1)) \text{ cm}$$ $$\text{Eneo} = 4.8 \times 4.8 \times (\sqrt{2} + 1) \text{ cm}^2$$ $$\text{Eneo} = 23.04 \times (\sqrt{2} + 1) \text{ cm}^2$$ $$\text{Eneo} \approx 23.04 \times 2.41421356 \text{ cm}^2$$ $$\text{Eneo} \approx 55.6197 \text{ cm}^2$$

Kwa usahihi wa sehemu mbili za desimali:

$$\text{Eneo} \approx 55.62 \text{ cm}^2$$

Eneo la pembetatu $DBC$ ni $\boxed{\text{55.62 cm}^2}$.