Loci Using a ruler and a pair of compasses only, a. Construct a triangle ABC such that angle ABC = 135°C, AB = 8.2cm and BC = 9.6cm b. Given that D is a position equidistant from both AB and BC and also from B and C i. Locate D ii. Find the area of triangle DBC.

1.a) Kujenga pembetatu ABC Huu ni ujenzi wa pembetatu kwa kutumia pande mbili na pembe moja (SAS). Hatua ya 1: Chora mstari wa urefu wa AB = 8.2 cm. Hatua ya 2: Katika ncha B, jenga pembe ya 135^. Hatua ya 3: Kwenye mkono wa pembe ya 135^, pima 9.6 cm kutoka B ili kupata ncha C. Hatua ya 4: Unganisha ncha A na C kukamilisha pembetatu ABC. 1.b) i) Kupata ncha D Hatua ya 1: Kwa kuwa D iko umbali sawa kutoka AB na BC, D iko kwenye bisector ya pembe* ya ABC. Jenga bisector ya pembe ya ABC. Hatua ya 2: Kwa kuwa D iko umbali sawa kutoka B na C, D iko kwenye bisector ya perpendicular* ya mstari BC. Jenga bisector ya perpendicular ya BC. Hatua ya 3: Ncha D ni mahali ambapo bisector ya pembe ya ABC na bisector ya perpendicular ya BC zinakutana. 1.b) ii) Kupata eneo la pembetatu DBC Tunajua BC = 9.6 cm. Kwa kuwa D iko kwenye bisector ya pembe ya ABC, DBC = (1)/(2) ABC. DBC = (1)/(2) × 135^ = 67.5^ Kwa kuwa D iko kwenye bisector ya perpendicular ya BC, ikiwa M ni katikati ya BC, basi DM ni perpendicular kwa BC. Hivyo, DM ni urefu wa pembetatu DBC na BM = (1)/(2) BC. BM = (1)/(2) × 9.6 cm = 4.8 cm Katika pembetatu ya kulia DBM: ( DBM) = (DM)/(BM) (67.5^) = (DM)/(4.8 cm) DM = 4.8 × (67.5^) Tunajua (67.5^) = sqrt(2) + 1 ≈ 2.4142. DM = 4.8 × (sqrt(2) + 1) cm DM ≈ 4.8 × 2.4142 cm DM ≈ 11.588 cm Eneo la pembetatu DBC ni: Eneo = (1)/(2) × base × height Eneo = (1)/(2) × BC × DM Eneo = (1)/(2) × 9.6 cm × (4.8 × (sqrt(2) + 1)) cm Eneo = 4.8 × 4.8 × (sqrt(2) + 1) cm^2 Eneo = 23.04 × (sqrt(2) + 1) cm^2 Eneo ≈ 23.04 × 2.41421356 cm^2 Eneo ≈ 55.6197 cm^2 Kwa usahihi wa sehemu mbili za desimali: Eneo ≈ 55.62 cm^2 Eneo la pembetatu DBC ni 55.62 cm^2. Tuma swali linalofuata 📸