Misalkan \(a\), \(b\), dan \(c\) adalah bilangan real positif sedemikian sehingga \(a + b + c = 3\).Buktikan pertidaksamaan berikut:\((a)/(b2)+1+(b)/(c2)+1+(c)/(a2)+1 (3)/(2)\)

Kita dapat menulis ulang setiap suku menggunakan identitas $x - \frac{xy^2}{y^2+1}$.
Untuk suku pertama:

$$\frac{a}{b^{2}+1} = a - \frac{ab^{2}}{b^{2}+1}$$

Dengan cara yang sama, kita punya:

$$\frac{b}{c^{2}+1} = b - \frac{bc^{2}}{c^{2}+1}$$ $$\frac{c}{a^{2}+1} = c - \frac{ca^{2}}{a^{2}+1}$$

Menjumlahkan ketiga suku tersebut, kita dapatkan:

$$\frac{a}{b^{2}+1}+\frac{b}{c^{2}+1}+\frac{c}{a^{2}+1} = (a+b+c) - \left(\frac{ab^{2}}{b^{2}+1}+\frac{bc^{2}}{c^{2}+1}+\frac{ca^{2}}{a^{2}+1}\right)$$

Karena diketahui $a+b+c=3$, pertidaksamaan yang harus dibuktikan menjadi:

$$3 - \left(\frac{ab^{2}}{b^{2}+1}+\frac{bc^{2}}{c^{2}+1}+\frac{ca^{2}}{a^{2}+1}\right) \ge \frac{3}{2}$$

Ini setara dengan membuktikan:

$$\frac{ab^{2}}{b^{2}+1}+\frac{bc^{2}}{c^{2}+1}+\frac{ca^{2}}{a^{2}+1} \le \frac{3}{2}$$

Untuk setiap bilangan real positif $x$, kita tahu dari ketaksamaan AM-GM bahwa $x^2+1 \ge 2\sqrt{x^2 \cdot 1} = 2x$.
Maka, untuk suku $\frac{ab^2}{b^2+1}$:

$$\frac{ab^{2}}{b^{2}+1} \le \frac{ab^{2}}{2b} = \frac{ab}{2}$$

Dengan cara yang sama untuk suku lainnya:

$$\frac{bc^{2}}{c^{2}+1} \le \frac{bc^{2}}{2c} = \frac{bc}{2}$$ $$\frac{ca^{2}}{a^{2}+1} \le \frac{ca^{2}}{2a} = \frac{ca}{2}$$

Menjumlahkan ketiga ketaksamaan tersebut:

$$\frac{ab^{2}}{b^{2}+1}+\frac{bc^{2}}{c^{2}+1}+\frac{ca^{2}}{a^{2}+1} \le \frac{ab}{2}+\frac{bc}{2}+\frac{ca}{2} = \frac{1}{2}(ab+bc+ca)$$

Kita tahu bahwa untuk bilangan real positif $a, b, c$:

$$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$$

Juga diketahui bahwa $a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$.
Maka, $(a+b+c)^2 \ge (ab+bc+ca) + 2(ab+bc+ca) = 3(ab+bc+ca)$.
Karena $a+b+c=3$:

$$3^2 \ge 3(ab+bc+ca)$$ $$9 \ge 3(ab+bc+ca)$$

Membagi kedua sisi dengan 3:

$$3 \ge ab+bc+ca$$

Jadi, $ab+bc+ca \le 3$.

Dari Step 4 dan Step 5, kita dapatkan:

$$\frac{ab^{2}}{b^{2}+1}+\frac{bc^{2}}{c^{2}+1}+\frac{ca^{2}}{a^{2}+1} \le \frac{1}{2}(ab+bc+ca) \le \frac{1}{2}(3) = \frac{3}{2}$$

Sekarang kita substitusikan hasil ini kembali ke ekspresi dari Step 2:

$$\frac{a}{b^{2}+1}+\frac{b}{c^{2}+1}+\frac{c}{a^{2}+1} = 3 - \left(\frac{ab^{2}}{b^{2}+1}+\frac{bc^{2}}{c^{2}+1}+\frac{ca^{2}}{a^{2}+1}\right)$$

Karena $\left(\frac{ab^{2}}{b^{2}+1}+\frac{bc^{2}}{c^{2}+1}+\frac{ca^{2}}{a^{2}+1}\right) \le \frac{3}{2}$, maka:

$$\frac{a}{b^{2}+1}+\frac{b}{c^{2}+1}+\frac{c}{a^{2}+1} \ge 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$$

Pertidaksamaan telah terbukti.