Which of the following determinant(s) vanish(es) ?

स्टेप 1: दिए गए सारणिक (determinant) को लिखें।
माना दिया गया सारणिक $D$ है:

$$D = \begin{vmatrix} a & b & a\alpha + b \\ b & c & b\alpha + c \\ a\alpha + b & b\alpha + c & 0 \end{vmatrix}$$

स्टेप 2: सारणिक को सरल बनाने के लिए कॉलम संक्रिया (column operation) $C_3 \to C_3 - \alpha C_1 - C_2$ का प्रयोग करें।
तीसरे कॉलम के नए अवयव (elements) इस प्रकार होंगे:
$C_{13}' = (a\alpha + b) - \alpha(a) - b = a\alpha + b - a\alpha - b = 0$
$C_{23}' = (b\alpha + c) - \alpha(b) - c = b\alpha + c - b\alpha - c = 0$
$C_{33}' = 0 - \alpha(a\alpha + b) - (b\alpha + c) = -a\alpha^2 - b\alpha - b\alpha - c = -(a\alpha^2 + 2b\alpha + c)$
अब सारणिक इस प्रकार हो जाता है:

$$D = \begin{vmatrix} a & b & 0 \\ b & c & 0 \\ a\alpha + b & b\alpha + c & -(a\alpha^2 + 2b\alpha + c) \end{vmatrix}$$

स्टेप 3: तीसरे कॉलम के अनुदिश सारणिक का विस्तार करें।
चूंकि तीसरे कॉलम में दो अवयव शून्य हैं, विस्तार सरल हो जाता है:

$$D = 0 \cdot (\text{सहखंड}_{13}) - 0 \cdot (\text{सहखंड}_{23}) + (-(a\alpha^2 + 2b\alpha + c)) \cdot \begin{vmatrix} a & b \\ b & c \end{vmatrix}$$ $$D = -(a\alpha^2 + 2b\alpha + c)(ac - b^2)$$

स्टेप 4: सारणिक को शून्य के बराबर सेट करें और शर्तों की पहचान करें।
सारणिक $D$ शून्य के बराबर होगा यदि:

$$-(a\alpha^2 + 2b\alpha + c)(ac - b^2) = 0$$

इसका अर्थ है कि या तो $a\alpha^2 + 2b\alpha + c = 0$ या $ac - b^2 = 0$।

स्टेप 5: शर्तों को दिए गए विकल्पों से संबंधित करें।

• शर्त 1: $a\alpha^2 + 2b\alpha + c = 0$ यह दर्शाता है कि $\alpha$ द्विघात समीकरण $ax^2 + 2bx + c = 0$ का एक मूल है। यदि $\alpha$ इस समीकरण का मूल है, तो $(x-\alpha)$ बहुपद $ax^2 + 2bx + c$ का एक गुणनखंड होगा। यह विकल्प (D) से मेल खाता है।

• शर्त 2: $ac - b^2 = 0$ यह दर्शाता है कि $b^2 = ac$। यह शर्त है कि $a, b, c$ गुणोत्तर श्रेणी (Geometric Progression - GP) में हों। यह विकल्प (B) से मेल खाता है।

इसलिए, सारणिक शून्य होगा यदि $a, b, c$ गुणोत्तर श्रेणी में हों या $\alpha$ समीकरण $ax^2 + 2bx + c = 0$ का मूल हो।

सही विकल्प हैं:

• (B) a, b, c are in GP
• (D) $(x-\alpha)$ is a factor of $ax^2 + 2bx + c$