This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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स्टेप 1: दिए गए सारणिक (determinant) को लिखें। माना दिया गया सारणिक D है: D = a & b & a + b \\ b & c & b + c \\ a + b & b + c & 0 स्टेप 2: सारणिक को सरल बनाने के लिए कॉलम संक्रिया (column operation) C_3 C_3 - C_1 - C_2 का प्रयोग करें। तीसरे कॉलम के नए अवयव (elements) इस प्रकार होंगे: C_13' = (a + b) - (a) - b = a + b - a - b = 0 C_23' = (b + c) - (b) - c = b + c - b - c = 0 C_33' = 0 - (a + b) - (b + c) = -a^2 - b - b - c = -(a^2 + 2b + c) अब सारणिक इस प्रकार हो जाता है: D = a & b & 0 \\ b & c & 0 \\ a + b & b + c & -(a^2 + 2b + c) स्टेप 3: तीसरे कॉलम के अनुदिश सारणिक का विस्तार करें। चूंकि तीसरे कॉलम में दो अवयव शून्य हैं, विस्तार सरल हो जाता है: D = 0 · (सहखंड_13) - 0 · (सहखंड_23) + (-(a^2 + 2b + c)) · a & b \\ b & c D = -(a^2 + 2b + c)(ac - b^2) स्टेप 4: सारणिक को शून्य के बराबर सेट करें और शर्तों की पहचान करें। सारणिक D शून्य के बराबर होगा यदि: -(a^2 + 2b + c)(ac - b^2) = 0 इसका अर्थ है कि या तो a^2 + 2b + c = 0 या ac - b^2 = 0। स्टेप 5: शर्तों को दिए गए विकल्पों से संबंधित करें। • शर्त 1: a^2 + 2b + c = 0 यह दर्शाता है कि द्विघात समीकरण ax^2 + 2bx + c = 0 का एक मूल है। यदि इस समीकरण का मूल है, तो (x-) बहुपद ax^2 + 2bx + c का एक गुणनखंड होगा। यह विकल्प (D) से मेल खाता है। • शर्त 2: ac - b^2 = 0 यह दर्शाता है कि b^2 = ac। यह शर्त है कि a, b, c गुणोत्तर श्रेणी (Geometric Progression - GP) में हों। यह विकल्प (B) से मेल खाता है। इसलिए, सारणिक शून्य होगा यदि a, b, c गुणोत्तर श्रेणी में हों या समीकरण ax^2 + 2bx + c = 0 का मूल हो। सही विकल्प हैं: (B) a, b, c are in GP (D) (x-) is a factor of ax^2 + 2bx + c अगला प्रश्न भेजें 📸