On admet que, pour tout x élément de [4; +∞[, x² − 8x + 17 > 0. Détermine le sens de variation de f sur ]4; +∞[. c) Dresse le tableau de variation de f sur ]4; +∞[.

La fonction donnée est $f(x) = x - 3 - \frac{1}{x-4}$.
Pour $x \in ]4 ; +\infty[$, la dérivée de $x$ est 1, la dérivée de $-3$ est 0.
Pour dériver $-\frac{1}{x-4}$, on utilise la règle de dérivation de $\frac{1}{u}$ qui est $-\frac{u'}{u^2}$. Ici, $u = x-4$, donc $u' = 1$.
Ainsi, la dérivée de $-\frac{1}{x-4}$ est $-\left(-\frac{1}{(x-4)^2} \cdot 1\right) = \frac{1}{(x-4)^2}$.
D'où, la dérivée de $f(x)$ est :

Pour tout $x \in ]4 ; +\infty[$, on a $x-4 > 0$.
Par conséquent, $(x-4)^2 > 0$.
Il s'ensuit que $\frac{1}{(x-4)^2} > 0$.
Puisque $1 > 0$, la somme $1 + \frac{1}{(x-4)^2}$ est toujours positive.

Puisque la dérivée $f'(x)$ est strictement positive sur l'intervalle $]4 ; +\infty[$, la fonction $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.
La partie "On admet que, pour tout $x$ élément de $]4 ; +\infty[$, $x^2 - 8x + 17 > 0$" est une information donnée qui n'est pas directement utilisée pour déterminer le sens de variation de $f(x)$ tel que défini.

Calculons la limite lorsque $x$ tend vers 4 par valeurs supérieures :

Lorsque $x \to 4^+$, $x-3 \to 1$.
Lorsque $x \to 4^+$, $x-4 \to 0^+$, donc $\frac{1}{x-4} \to +\infty$.
Ainsi,

Calculons la limite lorsque $x$ tend vers $+\infty$ :

Lorsque $x \to +\infty$, $x-3 \to +\infty$.
Lorsque $x \to +\infty$, $x-4 \to +\infty$, donc $\frac{1}{x-4} \to 0$.
Ainsi,

Le tableau de variation de $f$ sur $]4 ; +\infty[$ est le suivant :