Étudier les variations de la fonction f3(x) = (2x−11)/(3x+6).

Question

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Voici l'étude des variations de la fonction $f_3(x)$ .

La fonction donnée est $f_3(x) = \frac{2x-11}{3x+6}$ . C'est une fonction homographique de la forme $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$ avec $a=2$ , $b=-11$ , $c=3$ , $d=6$ .

Domaine de définition
La fonction est définie lorsque le dénominateur n'est pas nul.
$3x+6 \neq 0$ $3x \neq -6$ $x \neq -2$
Le domaine de définition de $f_3$ est $D_{f_3} = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$ .
Calcul de la dérivée
Pour une fonction de la forme $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$ , la dérivée est $f'(x) = \frac{ad-bc}{(cx+d)^2}$ .
Calculons $ad-bc$ :
$ad-bc = (2)(6) - (-11)(3)$ $ad-bc = 12 - (-33)$ $ad-bc = 12 + 33$ $ad-bc = 45$
Donc, la dérivée de $f_3(x)$ est:
$f_3'(x) = \frac{45}{(3x+6)^2}$
Étude du signe de la dérivée
Pour tout $x \in D_{f_3}$ , le numérateur 45 est positif.
Le dénominateur $(3x+6)^2$ est un carré, donc il est toujours positif pour $x \neq -2$ .
Par conséquent, $f_3'(x) = \frac{45}{(3x+6)^2} > 0$ pour tout $x \in D_{f_3}$ .
Tableau de variations
Puisque la dérivée $f_3'(x)$ est strictement positive sur son domaine de définition, la fonction $f_3(x)$ est strictement croissante sur les intervalles $(-\infty, -2)$ et $(-2, +\infty)$ .

Calculons les limites aux bornes du domaine:
$\lim_{x \to \pm\infty} f_3(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x-11}{3x+6} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$ $\lim_{x \to -2^-} f_3(x) = \lim_{x \to -2^-} \frac{2x-11}{3x+6} = \frac{2(-2)-11}{3(-2)^-+6} = \frac{-15}{0^-} = +\infty$ $\lim_{x \to -2^+} f_3(x) = \lim_{x \to -2^+} \frac{2x-11}{3x+6} = \frac{2(-2)-11}{3(-2)^++6} = \frac{-15}{0^+} = -\infty$
Tableau de variations:
$\begin{array}{|c|cc||cc|} \hline x & -\infty & & -2 & & +\infty \\ \hline f_3'(x) & & + & || & + & \\ \hline f_3(x) & \frac{2}{3} & \nearrow & +\infty || -\infty & \nearrow & \frac{2}{3} \\ \hline \end{array}$
La fonction $f_3(x)$ est strictement croissante sur $(-\infty, -2)$ et sur $(-2, +\infty)$ .

Étudier les variations de la fonction f3(x) = (2x−11)/(3x+6).

Step-by-step solution

Domaine de définition

Calcul de la dérivée

Étude du signe de la dérivée

Tableau de variations

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