This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
ScanSolve AI Answer
Voici l'étude des variations de la fonction f_3(x). La fonction donnée est f_3(x) = (2x-11)/(3x+6). C'est une fonction homographique de la forme f(x) = (ax+b)/(cx+d) avec a=2, b=-11, c=3, d=6. Step 1: Domaine de définition La fonction est définie lorsque le dénominateur n'est pas nul. 3x+6 ≠ 0 3x ≠ -6 x ≠ -2 Le domaine de définition de f_3 est D_f_3 = R \-2\. Step 2: Calcul de la dérivée Pour une fonction de la forme f(x) = (ax+b)/(cx+d), la dérivée est f'(x) = (ad-bc)/((cx+d)^2). Calculons ad-bc: ad-bc = (2)(6) - (-11)(3) ad-bc = 12 - (-33) ad-bc = 12 + 33 ad-bc = 45 Donc, la dérivée de f_3(x) est: f_3'(x) = (45)/((3x+6)^2) Step 3: Étude du signe de la dérivée Pour tout x D_f_3, le numérateur 45 est positif. Le dénominateur (3x+6)^2 est un carré, donc il est toujours positif pour x ≠ -2. Par conséquent, f_3'(x) = (45)/((3x+6)^2) > 0 pour tout x D_f_3. Step 4: Tableau de variations Puisque la dérivée f_3'(x) est strictement positive sur son domaine de définition, la fonction f_3(x) est strictement croissante sur les intervalles (-, -2) et (-2, +). Calculons les limites aux bornes du domaine: _x ± f_3(x) = _x ± (2x-11)/(3x+6) = _x ± (2x)/(3x) = (2)/(3) _x -2^- f_3(x) = _x -2^- (2x-11)/(3x+6) = (2(-2)-11)/(3(-2)^-+6) = (-15)/(0^-) = + _x -2^+ f_3(x) = _x -2^+ (2x-11)/(3x+6) = (2(-2)-11)/(3(-2)^++6) = (-15)/(0^+) = - Tableau de variations: |c|cc||cc| x & - & & -2 & & + \\ f_3'(x) & & + & || & + & \\ f_3(x) & (2)/(3) & & + || - & & (2)/(3) \\ La fonction f_3(x) est strictement croissante sur (-, -2) et sur (-2, +). Mándame la siguiente 📸