On définit la fonction f sur R par : f(x) = 2(3x−1)e^-2x + 2x, si x 0. 1…

Question

On définit la fonction f sur R par : f(x) = 2(3x−1)e^-2x + 2x, si x <= 0; f(x) = (xlnx)/(x+1), si x > 0. 1. Étude d'une fonction auxiliaire. Unité graphique : 4 cm. On note (C) la courbe représentative dans un repère orthonormal (O; i, j).

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Voici la résolution de la première partie de votre problème.

I. Étude d'une fonction auxiliaire
On définit la fonction $g$ sur $]0 ; +\infty[$ par $g(x) = 1 + x + \ln x$ .

1) a. Calculer les limites de $g$ en 0 et en $+\infty$ .

Calcul de la limite de $g(x)$ lorsque $x \to 0^+$ .
On a $g(x) = 1 + x + \ln x$ .
Lorsque $x$ tend vers 0 par valeurs positives :
$\lim_{x \to 0^+} 1 = 1$ $\lim_{x \to 0^+} x = 0$ $\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$
Par somme des limites, on obtient :
$\lim_{x \to 0^+} g(x) = 1 + 0 + (-\infty) = \boxed{-\infty}$
Calcul de la limite de $g(x)$ lorsque $x \to +\infty$ .
On a $g(x) = 1 + x + \ln x$ .
Lorsque $x$ tend vers $+\infty$ :
$\lim_{x \to +\infty} 1 = 1$ $\lim_{x \to +\infty} x = +\infty$ $\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$
Par somme des limites, on obtient :
$\lim_{x \to +\infty} g(x) = 1 + (+\infty) + (+\infty) = \boxed{+\infty}$

On définit la fonction f sur R par : {f(x) = 2(3x−1)e^{-2x + 2x, si x <= 0; f(x) = (xlnx)/(x+1), si x > 0. 1. Étude d'une fonction auxiliaire. Unité graphique : 4 cm. On note (C) la courbe représentative dans un repère orthonormal (O; i, j).

Step-by-step solution

Calcul de la limite de $g(x)$ lorsque $x \to 0^+$ .

Calcul de la limite de $g(x)$ lorsque $x \to +\infty$ .

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