This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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Voici la résolution de l'exercice : 6- Soit F la fonction définie sur R par : F(x) = 2x + (e^x+1). a- Calculer F'(x). Que peut-on en conclure ? Step 1: Calculer la dérivée de F(x). La fonction F(x) est une somme de deux termes. La dérivée de 2x est 2. La dérivée de (e^x+1) utilise la règle de dérivation en chaîne. Si u(x) = e^x+1, alors u'(x) = e^x. La dérivée de (u(x)) est (u'(x))/(u(x)). Donc, la dérivée de (e^x+1) est (e^x)/(e^x+1). F'(x) = 2 + (e^x)/(e^x+1) Step 2: Simplifier l'expression de F'(x). Pour simplifier, on met les termes au même dénominateur : F'(x) = (2(e^x+1))/(e^x+1) + (e^x)/(e^x+1) F'(x) = (2e^x+2+e^x)/(e^x+1) F'(x) = (3e^x+2)/(e^x+1) La dérivée est F'(x) = (3e^x+2)/(e^x+1). Step 3: Conclure sur la variation de F(x). Pour tout réel x, e^x > 0. Donc, le numérateur 3e^x+2 est toujours positif (3e^x+2 > 2). Le dénominateur e^x+1 est toujours positif (e^x+1 > 1). Puisque F'(x) est le quotient de deux nombres positifs, F'(x) > 0 pour tout x R. On en conclut que la fonction F est strictement croissante sur R. b- Calculer, en cm², l'aire géométrique A du domaine plan limité par la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0 et x=3. Note : La courbe (C) fait référence à la fonction f(x) = (e^x)/(e^x+1) + 2 du problème précédent. Nous avons montré dans la partie a) que F'(x) = (3e^x+2)/(e^x+1). En réécrivant f(x) du problème précédent : f(x) = (e^x)/(e^x+1) + 2 = (e^x + 2(e^x+1))/(e^x+1) = (e^x+2e^x+2)/(e^x+1) = (3e^x+2)/(e^x+1). Ainsi, F'(x) = f(x). Cela signifie que F(x) est une primitive de f(x). L'aire demandée est donc _0^3 f(x) \,dx. Step 1: Vérifier le signe de f(x) sur l'intervalle [0, 3]. f(x) = (e^x)/(e^x+1) + 2. Pour tout x R, e^x > 0, donc (e^x)/(e^x+1) > 0. Par conséquent, f(x) > 2 pour tout x R. La fonction f(x) est donc positive sur [0, 3]. L'aire A est donnée par l'intégrale de f(x) entre 0 et 3. A = _0^3 f(x) \,dx Step 2: Utiliser F(x) comme primitive de f(x). Puisque F'(x) = f(x), on a : A = [F(x)]_0^3 = F(3) - F(0) Step 3: Calculer F(3). F(3) = 2(3) + (e^3+1) Sachant que e^3 = 3: F(3) = 23 + (3+1) = 23 + 4 On peut écrire 4 = (2^2) = 22. F(3) = 23 + 22 Step 4: Calculer F(0). F(0) = 2(0) + (e^0+1) Sachant que e^0 = 1: F(0) = 0 + (1+1) = 2 Step 5: Calculer l'aire A. A = (23 + 22) - 2 A = 23 + 2 Step 6: Calculer la valeur numérique de l'aire en utilisant les valeurs données. On donne 2 ≈ 0.7 et 3 ≈ 1.1. A ≈ 2(1.1) + 0.7 A ≈ 2.2 + 0.7 A ≈ 2.9 L'aire géométrique A est d'environ 2.9 cm^2. What's next?