Soit F la fonction définie sur R par: F(x) = 2x + ln(e^x + 1). a- Calculer F'(x). Que peut-on en conclure ? b- Calculer, en cm², l'aire géométrique A du domaine plan limité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 0 et x = ln3.

La fonction $F(x)$ est une somme de deux termes.
La dérivée de $2x$ est 2.
La dérivée de $\ln(e^x+1)$ utilise la règle de dérivation en chaîne. Si $u(x) = e^x+1$, alors $u'(x) = e^x$. La dérivée de $\ln(u(x))$ est $\frac{u'(x)}{u(x)}$.
Donc, la dérivée de $\ln(e^x+1)$ est $\frac{e^x}{e^x+1}$.

$$F'(x) = 2 + \frac{e^x}{e^x+1}$$

Pour simplifier, on met les termes au même dénominateur :

$$F'(x) = \frac{2(e^x+1)}{e^x+1} + \frac{e^x}{e^x+1}$$ $$F'(x) = \frac{2e^x+2+e^x}{e^x+1}$$ $$F'(x) = \frac{3e^x+2}{e^x+1}$$

La dérivée est $\boxed{F'(x) = \frac{3e^x+2}{e^x+1}}$.

Pour tout réel $x$, $e^x > 0$.
Donc, le numérateur $3e^x+2$ est toujours positif ($3e^x+2 > 2$).
Le dénominateur $e^x+1$ est toujours positif ($e^x+1 > 1$).
Puisque $F'(x)$ est le quotient de deux nombres positifs, $F'(x) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
On en conclut que la fonction $F$ est $\boxed{\text{strictement croissante sur } \mathbb{R}}$.

b- Calculer, en cm², l'aire géométrique $\mathscr{A}$ du domaine plan limité par la courbe $(\mathscr{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=\ln3$.

Note : La courbe $(\mathscr{C})$ fait référence à la fonction $f(x) = \frac{e^x}{e^x+1} + 2$ du problème précédent. Nous avons montré dans la partie a) que $F'(x) = \frac{3e^x+2}{e^x+1}$. En réécrivant $f(x)$ du problème précédent : $f(x) = \frac{e^x}{e^x+1} + 2 = \frac{e^x + 2(e^x+1)}{e^x+1} = \frac{e^x+2e^x+2}{e^x+1} = \frac{3e^x+2}{e^x+1}$. Ainsi, $F'(x) = f(x)$. Cela signifie que $F(x)$ est une primitive de $f(x)$. L'aire demandée est donc $\int_{0}^{\ln3} f(x) \,dx$.

$f(x) = \frac{e^x}{e^x+1} + 2$. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $e^x > 0$, donc $\frac{e^x}{e^x+1} > 0$.
Par conséquent, $f(x) > 2$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. La fonction $f(x)$ est donc positive sur $[0, \ln3]$.
L'aire $\mathscr{A}$ est donnée par l'intégrale de $f(x)$ entre 0 et $\ln3$.

$$\mathscr{A} = \int_{0}^{\ln3} f(x) \,dx$$

Puisque $F'(x) = f(x)$, on a :

$$\mathscr{A} = [F(x)]_{0}^{\ln3} = F(\ln3) - F(0)$$

$$F(\ln3) = 2(\ln3) + \ln(e^{\ln3}+1)$$

Sachant que $e^{\ln3} = 3$:

$$F(\ln3) = 2\ln3 + \ln(3+1) = 2\ln3 + \ln4$$

On peut écrire $\ln4 = \ln(2^2) = 2\ln2$.

$$F(\ln3) = 2\ln3 + 2\ln2$$

$$F(0) = 2(0) + \ln(e^0+1)$$

Sachant que $e^0 = 1$:

$$F(0) = 0 + \ln(1+1) = \ln2$$

$$\mathscr{A} = (2\ln3 + 2\ln2) - \ln2$$ $$\mathscr{A} = 2\ln3 + \ln2$$

On donne $\ln2 \approx 0.7$ et $\ln3 \approx 1.1$.

$$\mathscr{A} \approx 2(1.1) + 0.7$$ $$\mathscr{A} \approx 2.2 + 0.7$$ $$\mathscr{A} \approx 2.9$$

L'aire géométrique $\mathscr{A}$ est d'environ $\boxed{2.9 \text{ cm}^2}$.