We read your photo as:

On determine f'(x) de f(x)

Mathematics

ScanSolve AI Answer

Step-by-step solution

16 steps

On détermine f′(x)f'(x) pour chaque fonction f(x)f(x).

  1. Soit f(x)=13x3+4x2−7x+10f(x) = \frac{1}{3}x^3 + 4x^2 - 7x + 10. Pour dériver un polynôme, on utilise la règle de puissance ddx(axn)=anxn−1\frac{d}{dx}(ax^n) = anx^{n-1}.

    f′(x)=13(3x3−1)+4(2x2−1)−7(1x1−1)+0f'(x) = \frac{1}{3}(3x^{3-1}) + 4(2x^{2-1}) - 7(1x^{1-1}) + 0 f′(x)=x2+8x−7f'(x) = x^2 + 8x - 7

    La dérivée est :

    f′(x)=x2+8x−7\boxed{\mathbf{f'(x) = x^2 + 8x - 7}}

  2. Soit f(x)=(7−x)(4x+4x2)f(x) = (7-x)(4x+4x^2). On utilise la règle du produit (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'. Posons u(x)=7−xu(x) = 7-x et v(x)=4x+4x2v(x) = 4x+4x^2.

  1. On calcule les dérivées de u(x)u(x) et v(x)v(x).

    $$
u'(x) = \frac{d}{dx}(7-x) = -1
$$
$$
v'(x) = \frac{d}{dx}(4x+4x^2) = 4 + 8x
$$

  2. On applique la règle du produit.

    $$
f'(x) = (-1)(4x+4x^2) + (7-x)(4+8x)
$$
$$
f'(x) = -4x - 4x^2 + (28 + 56x - 4x - 8x^2)
$$

  3. On simplifie l'expression.

    $$
f'(x) = -4x - 4x^2 + 28 + 52x - 8x^2
$$
$$
f'(x) = -12x^2 + 48x + 28
$$
La dérivée est :
$$
\boxed{\mathbf{f'(x) = -12x^2 + 48x + 28}}
$$

    3. Soit f(x)=2x2+1x−1f(x) = \frac{2x^2+1}{x-1}. On utilise la règle du quotient (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}. Posons u(x)=2x2+1u(x) = 2x^2+1 et v(x)=x−1v(x) = x-1.

  4. On calcule les dérivées de u(x)u(x) et v(x)v(x).

    $$
u'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2+1) = 4x
$$
$$
v'(x) = \frac{d}{dx}(x-1) = 1
$$

  5. On applique la règle du quotient.

    $$
f'(x) = \frac{(4x)(x-1) - (2x^2+1)(1)}{(x-1)^2}
$$

  6. On simplifie l'expression.

    $$
f'(x) = \frac{4x^2 - 4x - 2x^2 - 1}{(x-1)^2}
$$
$$
f'(x) = \frac{2x^2 - 4x - 1}{(x-1)^2}
$$
La dérivée est :
$$
\boxed{\mathbf{f'(x) = \frac{2x^2 - 4x - 1}{(x-1)^2}}}
$$

    4. Soit f(x)=2−4x3f(x) = \sqrt{2-4x^3}. On utilise la règle de la chaîne pour u(x)\sqrt{u(x)}, dont la dérivée est u′(x)2u(x)\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}. Posons u(x)=2−4x3u(x) = 2-4x^3.

  7. On calcule la dérivée de u(x)u(x).

    $$
u'(x) = \frac{d}{dx}(2-4x^3) = -4(3x^{3-1}) = -12x^2
$$

  8. On applique la règle de la chaîne.

    $$
f'(x) = \frac{-12x^2}{2\sqrt{2-4x^3}}
$$

  9. On simplifie l'expression.

    $$
f'(x) = \frac{-6x^2}{\sqrt{2-4x^3}}
$$
La dérivée est :
$$
\boxed{\mathbf{f'(x) = \frac{-6x^2}{\sqrt{2-4x^3}}}}
$$

    5. Soit f(x)=2x2+1−4x−2f(x) = \frac{2x^2+1}{-4x-2}. On utilise la règle du quotient (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}. Posons u(x)=2x2+1u(x) = 2x^2+1 et v(x)=−4x−2v(x) = -4x-2.

  10. On calcule les dérivées de u(x)u(x) et v(x)v(x).

    $$
u'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2+1) = 4x
$$
$$
v'(x) = \frac{d}{dx}(-4x-2) = -4
$$

  11. On applique la règle du quotient.

    $$
f'(x) = \frac{(4x)(-4x-2) - (2x^2+1)(-4)}{(-4x-2)^2}
$$

  12. On simplifie le numérateur.

    $$
f'(x) = \frac{-16x^2 - 8x - (-8x^2 - 4)}{(-4x-2)^2}
$$
$$
f'(x) = \frac{-16x^2 - 8x + 8x^2 + 4}{(-4x-2)^2}
$$

  13. On simplifie davantage.

    $$
f'(x) = \frac{-8x^2 - 8x + 4}{(-4x-2)^2}
$$
On peut factoriser le dénominateur : $(-4x-2)^2 = (-(4x+2))^2 = (4x+2)^2 = (2(2x+1))^2 = 4(2x+1)^2$.  
On peut factoriser le numérateur : $-4(2x^2+2x-1)$.
$$
f'(x) = \frac{-4(2x^2+2x-1)}{4(2x+1)^2}
$$
$$
f'(x) = \frac{-(2x^2+2x-1)}{(2x+1)^2}
$$
La dérivée est :
$$
\boxed{\mathbf{f'(x) = \frac{-2x^2-2x+1}{(2x+1)^2}}}
$$

    6. Soit f(x)=2x2+7xx+1f(x) = \frac{2x^2+7x}{x+1}. On utilise la règle du quotient (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}. Posons u(x)=2x2+7xu(x) = 2x^2+7x et v(x)=x+1v(x) = x+1.

  14. On calcule les dérivées de u(x)u(x) et v(x)v(x).

    $$
u'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2+7x) = 4x+7
$$
$$
v'(x) = \frac{d}{dx}(x+1) = 1
$$

  15. On applique la règle du quotient.

    $$
f'(x) = \frac{(4x+7)(x+1) - (2x^2+7x)(1)}{(x+1)^2}
$$

  16. On développe et simplifie le numérateur.

    $$
f'(x) = \frac{(4x^2 + 4x + 7x + 7) - (2x^2+7x)}{(x+1)^2}
$$
$$
f'(x) = \frac{4x^2 + 11x + 7 - 2x^2 - 7x}{(x+1)^2}
$$
$$
f'(x) = \frac{2x^2 + 4x + 7}{(x+1)^2}
$$
La dérivée est :
$$
\boxed{\mathbf{f'(x) = \frac{2x^2 + 4x + 7}{(x+1)^2}}}
$$
Was this helpful?

Still stuck on this one?

Ask a follow-up, and the answer starts from this question.

Got a different question?Ask your own question

More Mathematics Questions

QDéterminer D_f l'ensemble de définition de la fonction f(x) = (1)/(2)x - 2 + (2)/(x).QSoit f(x)=(2x−1)/(x−3). 1. Donne Df. 2. Calcule x3f(x) et _xf(x). 3. Calcule f'(x) et étudie son…QDetermine f'(x) from first principles if f(x) = x³QCalculer f(2) et déduire que f(x) 9 pour tout x R.QGiven f(x) = (2)/((x−1)(x+1)), we write it in the form:
See all Mathematics questions →
Got a syllabus? Photograph it and I'll tell you what's due and what's worth the most.