Soit f(x)=(2x-1)/(x-3). 1. Donne Df. 2. Calcule x3f(x) et _xf(x). 3. Calcule f'(x) et étudie son signe.

EXERCICE 2 : FONCTION Soit f(x) = (2x-1)/(x-3). 1. Donner D_f Step 1: La fonction f(x) est une fonction rationnelle. Elle est définie si et seulement si son dénominateur est non nul. x-3 ≠ 0 x ≠ 3 L'ensemble de définition de f est D_f = R \3\ = ]-, 3[ ]3, +[. 2. Calculer _x 3 f(x) et _x ± f(x) Calcul de _x 3 f(x) Step 1: Évaluer le numérateur en x=3. 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5 Step 2: Évaluer le dénominateur et les limites. Lorsque x 3^-, x-3 0^-. _x 3^- f(x) = (5)/(0^-) = - Lorsque x 3^+, x-3 0^+. _x 3^+ f(x) = (5)/(0^+) = + Les limites sont _x 3^- f(x) = - et _x 3^+ f(x) = +. Cela indique que la droite d'équation x=3 est une asymptote verticale. Calcul de _x ± f(x) Step 1: Pour une fonction rationnelle, la limite à l'infini est égale à la limite du rapport des termes de plus haut degré. _x ± f(x) = _x ± (2x)/(x) _x ± f(x) = _x ± 2 _x ± f(x) = 2 La limite est _x ± f(x) = 2. Cela indique que la droite d'équation y=2 est une asymptote horizontale. 3. Calculer f'(x) et étudier son signe Calcul de f'(x) Step 1: Utiliser la formule de dérivation d'un quotient ((u)/(v))' = (u'v - uv')/(v^2). Soit u(x) = 2x-1, alors u'(x) = 2. Soit v(x) = x-3, alors v'(x) = 1. f'(x) = (2(x-3) - (2x-1)(1))/((x-3)^2) Step 2: Simplifier l'expression. f'(x) = (2x - 6 - 2x + 1)/((x-3)^2) f'(x) = (-5)/((x-3)^2) La dérivée de f(x) est f'(x) = (-5)/((x-3)^2). Étude de son signe Step 1: Analyser le signe du dénominateur. Le terme (x-3)^2 est un carré, donc il est toujours positif pour tout x D_f (c'est-à-dire pour x ≠ 3). Step 2: Analyser le signe du numérateur. Le numérateur est -5, qui est une constante négative. Step 3: Conclure sur le signe de f'(x). Puisque le numérateur est négatif et le dénominateur est positif, alors f'(x) est toujours négatif sur son domaine de définition. f'(x) < 0 pour tout x D_f Cela signifie que la fonction f(x) est strictement décroissante sur ]-, 3[ et sur ]3, +[. Drop the next question!