Soit f(x)=(2x−1)/(x-3). 1. Donne Df. 2. Calcule x3f(x) et _xf(x). 3. Calcule f'(x) et étudie son signe.

$$
2(3) - 1 = 6 - 1 = 5
$$

Lorsque $x \to 3^-$, $x-3 \to 0^-$.
$$
\lim_{x \to 3^-} f(x) = \frac{5}{0^-} = -\infty
$$
Lorsque $x \to 3^+$, $x-3 \to 0^+$.
$$
\lim_{x \to 3^+} f(x) = \frac{5}{0^+} = +\infty
$$
Les limites sont $\boxed{\lim_{x \to 3^-} f(x) = -\infty}$ et $\boxed{\lim_{x \to 3^+} f(x) = +\infty}$.  
Cela indique que la droite d'équation $x=3$ est une asymptote verticale.

$$
\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x}{x}
$$
$$
\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} 2
$$
$$
\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 2
$$
La limite est $\boxed{\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 2}$.  
Cela indique que la droite d'équation $y=2$ est une asymptote horizontale.

Soit $u(x) = 2x-1$, alors $u'(x) = 2$.  
Soit $v(x) = x-3$, alors $v'(x) = 1$.
$$
f'(x) = \frac{2(x-3) - (2x-1)(1)}{(x-3)^2}
$$

$$
f'(x) = \frac{2x - 6 - 2x + 1}{(x-3)^2}
$$
$$
f'(x) = \frac{-5}{(x-3)^2}
$$
La dérivée de $f(x)$ est $\boxed{f'(x) = \frac{-5}{(x-3)^2}}$.

Le terme $(x-3)^2$ est un carré, donc il est toujours positif pour tout $x \in D_f$ (c'est-à-dire pour $x \neq 3$).

Le numérateur est $-5$, qui est une constante négative.

Puisque le numérateur est négatif et le dénominateur est positif, alors $f'(x)$ est toujours négatif sur son domaine de définition.
$$
\boxed{f'(x) < 0 \text{ pour tout } x \in D_f}
$$
Cela signifie que la fonction $f(x)$ est strictement décroissante sur $]-\infty, 3[$ et sur $]3, +\infty[$.