On pose h(x) = (5x+2)(6x−7)/(2-3x)(5x+4). a) Simplifier h(x) b) Calculer h(sqrt(3)) puis donner son encadrement à 10⁻² pres Sachant que 2,236 < sqrt(3) < 2,237

L'expression de $H(x)$ est :

On observe le facteur $(5x+2)$ au numérateur et au dénominateur.

Pour que l'expression soit définie et pour pouvoir simplifier, le dénominateur ne doit pas être nul.
Donc, $(2-3x)(5x+2) \neq 0$.
Cela implique $2-3x \neq 0 \implies 3x \neq 2 \implies x \neq \frac{2}{3}$.
Et $5x+2 \neq 0 \implies 5x \neq -2 \implies x \neq -\frac{2}{5}$.

En supposant $x \neq -\frac{2}{5}$ et $x \neq \frac{2}{3}$, on peut annuler le facteur $(5x+2)$.

L'expression simplifiée de $H(x)$ est :

On remplace $x$ par $\sqrt{5}$ dans $H(x) = \frac{6x-7}{2-3x}$.

Vérifions que $\sqrt{5}$ n'annule pas le dénominateur : $2-3\sqrt{5} \neq 0$ car $2^2=4$ et $(3\sqrt{5})^2 = 9 \times 5 = 45$, donc $2 \neq 3\sqrt{5}$.

On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, qui est $2+3\sqrt{5}$.

Développons le numérateur :

Développons le dénominateur en utilisant l'identité $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ :

Donc, $H(\sqrt{5})$ est :

On nous donne $2,236 < \sqrt{5} < 2,237$.
Multiplions par 9 :

Soustrayons 76 :

Divisons par 41 (un nombre positif, donc les inégalités ne changent pas de sens) :

Calculons les bornes :

Pour un encadrement à $10^{-2}$ près, nous cherchons deux nombres consécutifs avec deux décimales qui encadrent $H(\sqrt{5})$.
Puisque $H(\sqrt{5})$ est environ $-1,362...$, l'encadrement à $10^{-2}$ près est :