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Voici la résolution de l'Exercice 3. 3) On pose H(x) = ((5x+2)(6x-7))/((2-3x)(5x+2)) a) Simplifier H(x) Étape 1: Identifier les facteurs communs au numérateur et au dénominateur. L'expression de H(x) est : H(x) = ((5x+2)(6x-7))/((2-3x)(5x+2)) On observe le facteur (5x+2) au numérateur et au dénominateur. Étape 2: Énoncer les conditions de simplification. Pour que l'expression soit définie et pour pouvoir simplifier, le dénominateur ne doit pas être nul. Donc, (2-3x)(5x+2) ≠ 0. Cela implique 2-3x ≠ 0 3x ≠ 2 x ≠ (2)/(3). Et 5x+2 ≠ 0 5x ≠ -2 x ≠ -(2)/(5). Étape 3: Simplifier l'expression. En supposant x ≠ -(2)/(5) et x ≠ (2)/(3), on peut annuler le facteur (5x+2). H(x) = (6x-7)/(2-3x) L'expression simplifiée de H(x) est : H(x) = (6x-7)/(2-3x) b) Calculer H(sqrt(5)) puis donner son encadrement à 10^-2 près sachant que 2,236 < sqrt(5) < 2,237. Étape 1: Calculer H(sqrt(5)) en utilisant l'expression simplifiée. On remplace x par sqrt(5) dans H(x) = (6x-7)/(2-3x). H(sqrt(5)) = 6sqrt(5)-72-3sqrt(5) Vérifions que sqrt(5) n'annule pas le dénominateur : 2-3sqrt(5) ≠ 0 car 2^2=4 et (3sqrt(5))^2 = 9 × 5 = 45, donc 2 ≠ 3sqrt(5). Étape 2: Rationaliser le dénominateur. On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, qui est 2+3sqrt(5). H(sqrt(5)) = (6sqrt(5)-7)(2+3sqrt(5))(2-3sqrt(5))(2+3sqrt(5)) Développons le numérateur : (6sqrt(5)-7)(2+3sqrt(5)) = 6sqrt(5) × 2 + 6sqrt(5) × 3sqrt(5) - 7 × 2 - 7 × 3sqrt(5) = 12sqrt(5) + 18 × 5 - 14 - 21sqrt(5) = 12sqrt(5) + 90 - 14 - 21sqrt(5) = (90-14) + (12-21)sqrt(5) = 76 - 9sqrt(5) Développons le dénominateur en utilisant l'identité (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 : (2-3sqrt(5))(2+3sqrt(5)) = 2^2 - (3sqrt(5))^2 = 4 - (9 × 5) = 4 - 45 = -41 Donc, H(sqrt(5)) est : H(sqrt(5)) = 76 - 9sqrt(5)-41 = -(76 - 9sqrt(5))41 = 9sqrt(5) - 7641 Étape 3: Utiliser l'encadrement de sqrt(5) pour encadrer H(sqrt(5)). On nous donne 2,236 < sqrt(5) < 2,237. Multiplions par 9 : 9 × 2,236 < 9sqrt(5) < 9 × 2,237 20,124 < 9sqrt(5) < 20,133 Soustrayons 76 : 20,124 - 76 < 9sqrt(5) - 76 < 20,133 - 76 -55,876 < 9sqrt(5) - 76 < -55,867 Divisons par 41 (un nombre positif, donc les inégalités ne changent pas de sens) : (-55,876)/(41) < 9sqrt(5) - 7641 < (-55,867)/(41) Calculons les bornes : -1,362829... < H(sqrt(5)) < -1,362609... Étape 4: Donner l'encadrement à 10^-2 près. Pour un encadrement à 10^-2 près, nous cherchons deux nombres consécutifs avec deux décimales qui encadrent H(sqrt(5)). Puisque H(sqrt(5)) est environ -1,362..., l'encadrement à 10^-2 près est : -1,37 < H(sqrt(5)) < -1,36 That's 3 down. 2 left today — send the next one.