Épreuves de mathématiques 2026

$f'(x)$.
$f'(x) = 3x^2 - 12x$

$f'(x)$ et en déduire le tableau de variations de $f$.

• $f'(x) = 0 \implies 3x(x - 4) = 0 \implies x = 0$ ou $x = 4$.
• Pour $x < 0$, $f'(x) > 0$ (f est croissante).
• Pour $0 < x < 4$, $f'(x) < 0$ (f est décroissante).
• Pour $x > 4$, $f'(x) > 0$ (f est croissante).

Tableau de variations :

f(x) | -∞↗ f(0) ↘ f(4) ↗ +∞

• $f(0) = 0^3 - 6(0)^2 + 5 = 5$.
• $f(4) = 4^3 - 6(4)^2 + 5 = 64 - 96 + 5 = -27$.

$T_0$ à la courbe $C$ au point d'abscisse $x_0 = 0$ et $T_4$ au point d'abscisse $x_0 = 4$.
L'équation de la tangente au point d'abscisse $x_0$ est $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$.

• Pour $T_0$ ($x_0 = 0$) : $y = f'(0)(x - 0) + f(0)$ $y = 0(x) + 5$ $y = 5$

• Pour $T_4$ ($x_0 = 4$) : $y = f'(4)(x - 4) + f(4)$ $y = 0(x - 4) + (-27)$ $y = -27$

$C$ par rapport à ses tangentes $T_0$ et $T_4$.

• Position par rapport à $T_0$ : $f(x) - 5 = x^3 - 6x^2 + 5 - 5 = x^3 - 6x^2 = x^2(x - 6)$.

  • Si $x < 6$ (et $x \neq 0$), $x^2(x - 6) < 0$, donc $C$ est en dessous de $T_0$.
  • Si $x > 6$, $x^2(x - 6) > 0$, donc $C$ est au dessus de $T_0$.
  • En $x=0$, $f(x) - 5 = 0$, donc $C$ coupe $T_0$.

• Position par rapport à $T_4$ : $f(x) - (-27) = x^3 - 6x^2 + 5 + 27 = x^3 - 6x^2 + 32$. On sait que $x=4$ est une racine double de $f(x) - (-27)$ car $f'(4)=0$. On peut factoriser par $(x-4)^2$. $x^3 - 6x^2 + 32 = (x-4)^2(x+2)$.

  • Si $x > -2$ (et $x \neq 4$), $(x-4)^2(x+2) > 0$, donc $C$ est au dessus de $T_4$.
  • Si $x < -2$, $(x-4)^2(x+2) < 0$, donc $C$ est en dessous de $T_4$.
  • En $x=4$, $f(x) - (-27) = 0$, donc $C$ coupe $T_4$.