Par méthode de balayage p

La précision requise est de 0,01. Nous allons donc balayer l'intervalle avec un pas de 0,01.

Nous savons que $f(-4) = -24$ (négatif) et $f(-3) = 17$ (positif). La racine $\alpha$ est donc bien dans cet intervalle.
Nous allons calculer $f(x)$ pour des valeurs de $x$ en partant de $-4$ et en augmentant par pas de 0,01 jusqu'à ce que le signe de $f(x)$ change.

Calculons quelques valeurs autour de la racine (que nous savons être proche de $-3,5$ d'après la méthode de dichotomie précédente) :

• Pour $x = -3,54$:

  $$f(-3,54) = 2(-3,54)^3 + 3(-3,54)^2 - 12(-3,54) + 8$$ $$f(-3,54) = 2(-44,310904) + 3(12,5316) + 42,48 + 8$$ $$f(-3,54) = -88,621808 + 37,5948 + 42,48 + 8 = -0,547008$$

  $f(-3,54)$ est négatif.

• Pour $x = -3,53$:

  $$f(-3,53) = 2(-3,53)^3 + 3(-3,53)^2 - 12(-3,53) + 8$$ $$f(-3,53) = 2(-43,939077) + 3(12,4609) + 42,36 + 8$$ $$f(-3,53) = -87,878154 + 37,3827 + 42,36 + 8 = -0,135454$$

  $f(-3,53)$ est négatif.

• Pour $x = -3,52$:

  $$f(-3,52) = 2(-3,52)^3 + 3(-3,52)^2 - 12(-3,52) + 8$$ $$f(-3,52) = 2(-43,561088) + 3(12,3904) + 42,24 + 8$$ $$f(-3,52) = -87,122176 + 37,1712 + 42,24 + 8 = 0,289024$$

  $f(-3,52)$ est positif.

Puisque $f(-3,53)$ est négatif et $f(-3,52)$ est positif, la racine $\alpha$ se trouve dans l'intervalle $]-3,53; -3,52[$.
La longueur de cet intervalle est 0,01, ce qui correspond à la précision demandée.

Toute valeur dans l'intervalle $]-3,53; -3,52[$ est une approximation de $\alpha$ à 0,01 près.
Nous pouvons choisir la borne supérieure de l'intervalle, $-3,52$, comme valeur approchée.

Une valeur approchée de $\alpha$ à 0,01 près est $\boxed{-3,52}$.