Which points are reflections of each other across the y-axis? Which points are reflections of each other across the x-axis? What specific type of quadrilateral is formed by connecting these four points?

यहाँ प्रश्न 17 के उत्तर दिए गए हैं:

दिए गए बिंदु हैं: $S = (2, 4)$ $T = (2, -4)$ $A = (-3, -4)$ $R = (-3, 4)$

Step 1: चतुर्भुज का प्रकार निर्धारित करें। हम भुजाओं की लंबाई की गणना करेंगे: $ST = \sqrt{(2-2)^2 + (-4-4)^2} = \sqrt{0^2 + (-8)^2} = \sqrt{64} = 8$ इकाई $TA = \sqrt{(-3-2)^2 + (-4-(-4))^2} = \sqrt{(-5)^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5$ इकाई $AR = \sqrt{(-3-(-3))^2 + (4-(-4))^2} = \sqrt{0^2 + (8)^2} = \sqrt{64} = 8$ इकाई $RS = \sqrt{(2-(-3))^2 + (4-4)^2} = \sqrt{5^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5$ इकाई

चूंकि $ST = AR = 8$ और $TA = RS = 5$, विपरीत भुजाएँ बराबर हैं, इसलिए यह एक समांतर चतुर्भुज है। अब हम आसन्न भुजाओं की ढलान की जाँच करके कोणों की जाँच करेंगे: $ST$ की ढलान $m_{ST} = \frac{-4-4}{2-2} = \frac{-8}{0}$ (अपरिभाषित, ऊर्ध्वाधर रेखा)। $TA$ की ढलान $m_{TA} = \frac{-4-(-4)}{-3-2} = \frac{0}{-5} = 0$ (क्षैतिज रेखा)। चूंकि $ST$ ऊर्ध्वाधर है और $TA$ क्षैतिज है, वे एक दूसरे के लंबवत हैं, जिसका अर्थ है कि $\angle T = 90^\circ$ है। एक समांतर चतुर्भुज जिसमें एक समकोण होता है, एक आयत होता है।

a) इन चार बिंदुओं को जोड़ने से बनने वाला चतुर्भुज एक आयत है। $\boxed{आयत}$

Step 2: y-अक्ष के परितः एक दूसरे के परावर्तन वाले बिंदुओं की पहचान करें। एक बिंदु $(x, y)$ का y-अक्ष के परितः परावर्तन $(-x, y)$ होता है। इसका मतलब है कि y-निर्देशांक समान रहता है और x-निर्देशांक का चिह्न बदल जाता है। दिए गए बिंदु हैं: $S(2, 4)$, $T(2, -4)$, $A(-3, -4)$, $R(-3, 4)$। • $S(2, 4)$ और $R(-3, 4)$: y-निर्देशांक समान (4) हैं, लेकिन x-निर्देशांक (2 और -3) एक दूसरे के विपरीत नहीं हैं ($2 \neq -(-3)$)। • $T(2, -4)$ और $A(-3, -4)$: y-निर्देशांक समान (-4) हैं, लेकिन x-निर्देशांक (2 और -3) एक दूसरे के विपरीत नहीं हैं ($2 \neq -(-3)$)। दिए गए बिंदुओं में से कोई भी बिंदु y-अक्ष के परितः एक दूसरे के परावर्तन नहीं हैं।

b) दिए गए बिंदुओं में से कोई भी बिंदु y-अक्ष के परितः एक दूसरे के परावर्तन नहीं हैं। $\boxed{कोई नहीं}$

Step 3: x-अक्ष के परितः एक दूसरे के परावर्तन वाले बिंदुओं की पहचान करें। एक बिंदु $(x, y)$ का x-अक्ष के परितः परावर्तन $(x, -y)$ होता है। इसका मतलब है कि x-निर्देशांक समान रहता है और y-निर्देशांक का चिह्न बदल जाता है। दिए गए बिंदु हैं: $S(2, 4)$, $T(2, -4)$, $A(-3, -4)$, $R(-3, 4)$। • $S(2, 4)$ और $T(2, -4)$: x-निर्देशांक समान (2) हैं। y-निर्देशांक 4 और -4 हैं, जो एक दूसरे के विपरीत हैं ($4 = -(-4)$)। इसलिए, $S$ और $T$ x-अक्ष के परितः एक दूसरे के परावर्तन हैं। • $A(-3, -4)$ और $R(-3, 4)$: x-निर्देशांक समान (-3) हैं। y-निर्देशांक -4 और 4 हैं, जो एक दूसरे के विपरीत हैं ($-4 = -(4)$)। इसलिए, $A$ और $R$ x-अक्ष के परितः एक दूसरे के परावर्तन हैं।

c) $S$ और $T$ एक दूसरे के परावर्तन हैं, और $A$ और $R$ एक दूसरे के परावर्तन हैं। $\boxed{S और T; A और R}$

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