Pour résoudre graphiquement le système d'inégalités, nous allons tracer chaque droite associée à une inégalité, puis déterminer la région de l'espace qui satisfait chaque inégalité. L'intersection de

• Inégalité 1: $x - 2y + 4 > 0$ On réécrit l'inégalité comme $2y < x + 4$, ce qui donne $y < \frac{1}{2}x + 2$. La droite associée est $L_1: y = \frac{1}{2}x + 2$. Pour tracer $L_1$:

  • Si $x = 0$, $y = 2$. Point $(0, 2)$.
  • Si $y = 0$, $0 = \frac{1}{2}x + 2 \Rightarrow \frac{1}{2}x = -2 \Rightarrow x = -4$. Point $(-4, 0)$. La droite $L_1$ sera tracée en pointillés car l'inégalité est stricte ($<$). Pour déterminer la région de solution, testons le point $(0, 0)$: $0 < \frac{1}{2}(0) + 2 \Rightarrow 0 < 2$. C'est vrai. Donc, la région de solution pour cette inégalité est la zone en dessous de la droite $L_1$.

• Inégalité 2: $x - \frac{y}{3} < 0$ On réécrit l'inégalité comme $x < \frac{y}{3}$, ce qui donne $3x < y$, ou $y > 3x$. La droite associée est $L_2: y = 3x$. Pour tracer $L_2$:

  • Si $x = 0$, $y = 0$. Point $(0, 0)$.
  • Si $x = 1$, $y = 3$. Point $(1, 3)$. La droite $L_2$ sera tracée en pointillés car l'inégalité est stricte ($>$). Pour déterminer la région de solution, testons le point $(1, 0)$: $0 > 3(1) \Rightarrow 0 > 3$. C'est faux. Donc, la région de solution pour cette inégalité est la zone au-dessus de la droite $L_2$.

• Inégalité 3: $2y - 9 < 0$ On réécrit l'inégalité comme $2y < 9$, ce qui donne $y < \frac{9}{2}$, ou $y < 4.5$. La droite associée est $L_3: y = 4.5$. C'est une droite horizontale. La droite $L_3$ sera tracée en pointillés car l'inégalité est stricte ($<$). Pour déterminer la région de solution, testons le point $(0, 0)$: $0 < 4.5$. C'est vrai. Donc, la région de solution pour cette inégalité est la zone en dessous de la droite $L_3$.

Sur un graphique cartésien:

1. Tracez la droite $L_1: y = \frac{1}{2}x + 2$ (en pointillés) passant par $(-4, 0)$ et $(0, 2)$. Hachurez la région en dessous de cette droite.
2. Tracez la droite $L_2: y = 3x$ (en pointillés) passant par $(0, 0)$ et $(1, 3)$. Hachurez la région au-dessus de cette droite.
3. Tracez la droite $L_3: y = 4.5$ (en pointillés) (une ligne horizontale) passant par n'importe quel point avec $y=4.5$, par exemple $(0, 4.5)$. Hachurez la région en dessous de cette droite.

La solution graphique du système est la région où les trois zones hachurées se chevauchent. Cette région est un triangle ouvert (les bords ne sont pas inclus) dont les sommets sont les points d'intersection des droites.

Calculons les points d'intersection:

• Intersection de $L_1$ et $L_2$: $\frac{1}{2}x + 2 = 3x$ $2 = 3x - \frac{1}{2}x$ $2 = \frac{5}{2}x$ $x = \frac{4}{5} = 0.8$ $y = 3(0.8) = 2.4$ Point d'intersection $P_1 = (0.8, 2.4)$.

• Intersection de $L_1$ et $L_3$: $y = \frac{1}{2}x + 2$ et $y = 4.5$ $4.5 = \frac{1}{2}x + 2$ $2.5 = \frac{1}{2}x$ $x = 5$ Point d'intersection $P_2 = (5, 4.5)$.

• Intersection de $L_2$ et $L_3$: $y = 3x$ et $y = 4.5$ $4.5 = 3x$ $x = \frac{4.5}{3} = 1.5$ Point d'intersection $P_3 = (1.5, 4.5)$.

La solution est la région triangulaire ouverte délimitée par les points $(0.8, 2.4)$, $(5, 4.5)$ et $(1.5, 4.5)$. Cette région est située en dessous de la droite $y = \frac{1}{2}x + 2$, au-dessus de la droite $y = 3x$, et en dessous de la droite $y = 4.5$.

La solution graphique est la région triangulaire ouverte dont les sommets sont $\boxed{(0.8, 2.4), (1.5, 4.5), et (5, 4