Pour résoudre graphiquement le système d'inégalités, nous allons tracer chaque droite associée à une inégalité, puis déterminer la région de l'espace qui satisfait chaque inégalité. L'intersection de

Pour résoudre graphiquement le système d'inégalités, nous allons tracer chaque droite associée à une inégalité, puis déterminer la région de l'espace qui satisfait chaque inégalité. L'intersection de ces régions sera la solution du système. Le système d'inégalités est : 1) x - 2y + 4 > 0 2) x - (y)/(3) < 0 3) 2y - 9 < 0 Step 1: Convertir chaque inégalité en équation de droite et déterminer la région de solution. Inégalité 1: x - 2y + 4 > 0 On réécrit l'inégalité comme 2y < x + 4, ce qui donne y < (1)/(2)x + 2. La droite associée est L_1: y = (1)/(2)x + 2. Pour tracer L_1: • Si x = 0, y = 2. Point (0, 2). • Si y = 0, 0 = (1)/(2)x + 2 (1)/(2)x = -2 x = -4. Point (-4, 0). La droite L_1 sera tracée en pointillés car l'inégalité est stricte (<). Pour déterminer la région de solution, testons le point (0, 0): 0 < (1)/(2)(0) + 2 0 < 2. C'est vrai. Donc, la région de solution pour cette inégalité est la zone en dessous de la droite L_1. Inégalité 2: x - (y)/(3) < 0 On réécrit l'inégalité comme x < (y)/(3), ce qui donne 3x < y, ou y > 3x. La droite associée est L_2: y = 3x. Pour tracer L_2: • Si x = 0, y = 0. Point (0, 0). • Si x = 1, y = 3. Point (1, 3). La droite L_2 sera tracée en pointillés car l'inégalité est stricte (>). Pour déterminer la région de solution, testons le point (1, 0): 0 > 3(1) 0 > 3. C'est faux. Donc, la région de solution pour cette inégalité est la zone au-dessus de la droite L_2. Inégalité 3: 2y - 9 < 0 On réécrit l'inégalité comme 2y < 9, ce qui donne y < (9)/(2), ou y < 4.5. La droite associée est L_3: y = 4.5. C'est une droite horizontale. La droite L_3 sera tracée en pointillés car l'inégalité est stricte (<). Pour déterminer la région de solution, testons le point (0, 0): 0 < 4.5. C'est vrai. Donc, la région de solution pour cette inégalité est la zone en dessous de la droite L_3. Step 2: Tracer les droites et identifier la région de solution. Sur un graphique cartésien: 1. Tracez la droite L_1: y = (1)/(2)x + 2 (en pointillés) passant par (-4, 0) et (0, 2). Hachurez la région en dessous de cette droite. 2. Tracez la droite L_2: y = 3x (en pointillés) passant par (0, 0) et (1, 3). Hachurez la région au-dessus de cette droite. 3. Tracez la droite L_3: y = 4.5 (en pointillés) (une ligne horizontale) passant par n'importe quel point avec y=4.5, par exemple (0, 4.5). Hachurez la région en dessous de cette droite. Step 3: Déterminer l'intersection des régions. La solution graphique du système est la région où les trois zones hachurées se chevauchent. Cette région est un triangle ouvert (les bords ne sont pas inclus) dont les sommets sont les points d'intersection des droites. Calculons les points d'intersection: Intersection de L_1 et L_2: (1)/(2)x + 2 = 3x 2 = 3x - (1)/(2)x 2 = (5)/(2)x x = (4)/(5) = 0.8 y = 3(0.8) = 2.4 Point d'intersection P_1 = (0.8, 2.4). Intersection de L_1 et L_3: y = (1)/(2)x + 2 et y = 4.5 4.5 = (1)/(2)x + 2 2.5 = (1)/(2)x x = 5 Point d'intersection P_2 = (5, 4.5). Intersection de L_2 et L_3: y = 3x et y = 4.5 4.5 = 3x x = (4.5)/(3) = 1.5 Point d'intersection P_3 = (1.5, 4.5). La solution est la région triangulaire ouverte délimitée par les points (0.8, 2.4), (5, 4.5) et (1.5, 4.5). Cette région est située en dessous de la droite y = (1)/(2)x + 2, au-dessus de la droite y = 3x, et en dessous de la droite y = 4.5. La solution graphique est la région triangulaire ouverte dont les sommets sont $(0.8, 2.4), (1.5, 4.5), et (5, 4