दिए गए व्यंजक को पहचानें।

Step 1: दिए गए व्यंजक को पहचानें। हमें व्यंजक $\sqrt{x+y+z+2\sqrt{yz+zx}}$ को सरल करना है।

Step 2: बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करें। हम जानते हैं कि $\sqrt{A+B+2\sqrt{AB}} = \sqrt{A} + \sqrt{B}$। दिए गए व्यंजक में, हम देख सकते हैं कि: $P = x+y+z$ (वर्गमूल के अंदर का पहला पद) $Q = yz+zx$ (वर्गमूल के अंदर का दूसरा पद, $2$ से गुणा होने के बाद)

हम $Q$ को दो पदों के गुणनफल के रूप में लिख सकते हैं: $Q = yz+zx = z(y+x)$

अब, यदि हम $A=z$ और $B=x+y$ मानें, तो: $A+B = z + (x+y) = x+y+z$ $AB = z(x+y) = yz+zx$

Step 3: मान प्रतिस्थापित करें और सरल करें। चूंकि $A+B = x+y+z$ और $AB = yz+zx$, हम सर्वसमिका का उपयोग कर सकते हैं: $\sqrt{x+y+z+2\sqrt{yz+zx}} = \sqrt{(x+y)+z+2\sqrt{z(x+y)}}$ इसे $\sqrt{A+B+2\sqrt{AB}}$ के रूप में लिखने पर, जहाँ $A=x+y$ और $B=z$: $= \sqrt{x+y} + \sqrt{z}$

The final answer is $\boxed{\sqrt{x+y} + \sqrt{z}}$.