खालीलपैकी अपरिमेय संख्या कोणती?

यहाँ दिए गए प्रश्नों के हल नीचे दिए गए हैं:

प्र. 8: खालीलपैकी अपरिमेय संख्या कोणती? (निम्नलिखित में से कौन सी अपरिमेय संख्या है?)

Step 1: प्रत्येक विकल्प का विश्लेषण करें।

• (1) $\sqrt{225} = 15$. यह एक पूर्णांक है, इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
• (2) $1.4142....$ यह एक अनवरत और अनावर्ती दशमलव प्रसार है, जो अपरिमेय संख्या की परिभाषा है। प्रश्न में ही इसे अपरिमेय संख्या बताया गया है।
• (3) $\frac{-4}{5}$. यह $\frac{p}{q}$ के रूप में है, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है, इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
• (4) $\sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5}$. यह भी $\frac{p}{q}$ के रूप में है, इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।

Step 2: अपरिमेय संख्या की पहचान करें। अपरिमेय संख्या वह होती है जिसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है। विकल्प (2) इस परिभाषा को पूरा करता है।

• उत्तर: $\boxed{2}$

प्र. 9: $-\sqrt{2}$ या संख्येचा प्रकार कोणता? (दोन अचूक पर्याय निवडा.) ($-\sqrt{2}$ किस प्रकार की संख्या है? (दो सही विकल्प चुनें।))

Step 1: $-\sqrt{2}$ के गुणों का विश्लेषण करें।

• $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि यह एक पूर्ण वर्ग नहीं है और इसका दशमलव प्रसार अनवरत और अनावर्ती होता है।
• इसलिए, $-\sqrt{2}$ भी एक अपरिमेय संख्या है।
• सभी अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ होती हैं।

Step 2: विकल्पों की जाँच करें।

• (1) परिमेय संख्या: $-\sqrt{2}$ परिमेय संख्या नहीं है।

• (2) ऋण परिमेय संख्या: $-\sqrt{2}$ परिमेय संख्या नहीं है, इसलिए यह ऋण परिमेय संख्या भी नहीं है।

• (3) अपरिमेय संख्या: यह सही है।

• (4) वास्तव संख्या: यह सही है, क्योंकि सभी अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ होती हैं।

• उत्तर: $\boxed{3, 4}$

स्वाध्याय 1.2

प्र. 1: सर्वात लहान मोजसंख्या कोणती? (सबसे छोटी गिनती की संख्या कौन सी है?)

Step 1: गिनती की संख्याओं की परिभाषा समझें। गिनती की संख्याएँ (counting numbers) प्राकृतिक संख्याएँ (natural numbers) होती हैं, जो $1, 2, 3, \dots$ से शुरू होती हैं।

Step 2: सबसे छोटी गिनती की संख्या पहचानें। इन संख्याओं में सबसे छोटी संख्या $1$ है।

• उत्तर: $\boxed{1}$

प्र. 2: दोन बरोबर पर्याय निवडा. (दो सही विकल्प चुनें।)

Step 1: प्रत्येक कथन का मूल्यांकन करें।

• (1) ऋण संख्या नैसर्गिक संख्या असतात. (ऋण संख्याएँ प्राकृतिक संख्याएँ होती हैं।) - यह गलत है। प्राकृतिक संख्याएँ $1, 2, 3, \dots$ होती हैं।
• (2) सर्वात लहान एक अंकी पूर्ण संख्या 0 आहे. (सबसे छोटी एक अंकी पूर्ण संख्या 0 है।) - पूर्ण संख्याएँ $0, 1, 2, 3, \dots$ होती हैं। सबसे छोटी एक अंकी पूर्ण संख्या $0$ है। यह सही है।
• (3) सर्वात मोठी ऋण पूर्णांक संख्या अनंत आहे. (सबसे बड़ी ऋण पूर्णांक संख्या अनंत है।) - यह गलत है। सबसे बड़ी ऋण पूर्णांक संख्या $-1$ है।
• (4) सर्वात लहान धन पूर्णांक संख्या 1 आहे. (सबसे छोटी धन पूर्णांक संख्या 1 है।) - धन पूर्णांक संख्याएँ $1, 2, 3, \dots$ होती हैं। सबसे छोटी धन पूर्णांक संख्या $1$ है। यह सही है।

Step 2: दो सही विकल्प चुनें। विकल्प (2) और (4) सही हैं।

• उत्तर: $\boxed{2, 4}$

प्र. 3: पर्यायातील सत्य विधान कोणते? (विकल्पों में से कौन सा कथन सत्य है?)

Step 1: प्रत्येक कथन का मूल्यांकन करें।

• (1) धन व ऋण पूर्णांक संख्या म्हणजे परिमेय संख्या. (धन और ऋण पूर्णांक संख्याएँ परिमेय संख्याएँ होती हैं।) - यह कथन सही है कि धन और ऋण पूर्णांक परिमेय संख्याएँ होती हैं, लेकिन यह अधूरा है क्योंकि इसमें $0$ शामिल नहीं है, जो एक पूर्णांक और परिमेय संख्या भी है।
• (2) पूर्णांक संख्या या नैसर्गिक संख्या असतात. (पूर्णांक संख्याएँ प्राकृतिक संख्याएँ होती हैं।) - यह गलत है। पूर्णांक संख्याएँ $..., -2, -1, 0, 1, 2, ...$ होती हैं, जबकि प्राकृतिक संख्याएँ $1, 2, 3, ...$ होती हैं।
• (3) पूर्णांक संख्या या परिमेय संख्या असतात. (पूर्णांक संख्याएँ परिमेय संख्याएँ होती हैं।) - यह सही है। प्रत्येक पूर्णांक $z$ को $\frac{z}{1}$ के रूप में लिखा जा सकता है, जो $\frac{p}{q}$ का रूप है।
• (4) परिमेय संख्या या वास्तव संख्या नसतात. (परिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ नहीं होती हैं।) - यह गलत है। परिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का एक उपसमूह हैं।

Step 2: सबसे सटीक सत्य कथन चुनें। विकल्प (3) सबसे सटीक और व्यापक रूप से सत्य कथन है।

• उत्तर: $\boxed{3}$

प्र. 4: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \dots + 100 = \text{किती?}$ ($1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \dots + 100$ कितना है?)

Step 1: पहले $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग का सूत्र लिखें। पहले $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$ होता है।

Step 2: सूत्र में मान प्रतिस्थापित करें और गणना करें। यहाँ $n = 100$ है। $S_{100} = \frac{100(100+1)}{2}$ $S_{100} = \frac{100 \times 101}{2}$ $S_{100} = 50 \times 101$ $S_{100} = 5050$

• उत्तर: $\boxed{3}$

प्र. 5: पहिल्या 500 पर्यंत असणाऱ्या नैसर्गिक संख्यांमध्ये एकूण किती वर्गसंख्या आहेत? (पहले 500 तक की प्राकृतिक संख्याओं में कुल कितनी पूर्ण वर्ग संख्याएँ हैं?)

Step 1: हमें वह सबसे बड़ी पूर्णांक संख्या $x$ ज्ञात करनी है जिसका वर्ग 500 से कम या उसके बराबर हो। हमें $x^2 \le 500$ को संतुष्ट करने वाला सबसे बड़ा पूर्णांक $x$ खोजना है।

Step 2: वर्गों की गणना करें।

• $20^2 = 400$
• $21^2 = 441$
• $22^2 = 484$
• $23^2 = 529$

Step 3: परिणाम निर्धारित करें। चूंकि $22^2 = 484$ जो 500 से कम या उसके बराबर है, और $23^2 = 529$ जो 500 से अधिक है, तो 1 से 500 तक की पूर्ण वर्ग संख्याएँ $1^2, 2^2, \dots, 22^2$ हैं। इसलिए, कुल 22 पूर्ण वर्ग संख्याएँ हैं।

• उत्तर: $\boxed{4}$

प्र. 6: पुढीलपैकी धन परिमेय संख्या कोणती? (दोन अचूक पर्याय निवडा.) (निम्नलिखित में से कौन सी धनात्मक परिमेय संख्या है? (दो सही विकल्प चुनें।))

Step 1: धनात्मक परिमेय संख्या की परिभाषा समझें। एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ धनात्मक होती है यदि $p$ और $q$ दोनों का चिन्ह समान हो (दोनों धनात्मक या दोनों ऋणात्मक)।

Step 2: प्रत्येक विकल्प का विश्लेषण करें।

• (1) $\frac{-5}{11}$: अंश ऋणात्मक है और हर धनात्मक है। यह एक ऋणात्मक परिमेय संख्या है।
• (2) $\frac{-4}{-15}$: अंश और हर दोनों ऋणात्मक हैं। $\frac{-4}{-15} = \frac{4}{15}$. यह एक धनात्मक परिमेय संख्या है।
• (3) $\frac{0}{6}$: यह $0$ के बराबर है, जो न तो धनात्मक है और न ही ऋणात्मक।
• (4) $\frac{6}{7}$: अंश और हर दोनों धनात्मक हैं। यह एक धनात्मक परिमेय संख्या है।

Step 3: दो सही विकल्प चुनें। विकल्प (2) और (4) धनात्मक परिमेय संख्याएँ हैं।

• उत्तर: $\boxed{2, 4}$

प्र. 7: खालीलपैकी ऋण परिमेय संख्या कोणती? (निम्नलिखित में से कौन सी ऋण परिमेय संख्या है?)

Step 1: ऋण परिमेय संख्या की परिभाषा समझें। एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ ऋणात्मक होती है यदि $p$ और $q$ का चिन्ह विपरीत हो (एक धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक)।

Step 2: प्रत्येक विकल्प का विश्लेषण करें।

• (1) $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$: यह एक धनात्मक परिमेय संख्या है।
• (2) $\frac{4}{-6}$: अंश धनात्मक है और हर ऋणात्मक है। यह एक ऋण परिमेय संख्या है।
• (3) $\sqrt{4} = 2$: यह एक धनात्मक पूर्णांक है, इसलिए धनात्मक परिमेय संख्या है।
• (4) $-(-20) = 20$: यह एक धनात्मक पूर्णांक है, इसलिए धनात्मक परिमेय संख्या है।

Step 3: ऋण परिमेय संख्या पहचानें। विकल्प (2) एक ऋण परिमेय संख्या है।

• उत्तर: $\boxed{2}$

प्र. 8: खालीलपैकी अपरिमेय संख्या कोणती? (दोन अचूक पर्याय निवडा.) (निम्नलिखित में से कौन सी अपरिमेय संख्या है? (दो सही विकल्प चुनें।))

Step 1: अपरिमेय संख्या की परिभाषा समझें। एक अपरिमेय संख्या वह होती है जिसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता, जहाँ $p, q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।

Step 2: प्रत्येक विकल्प का विश्लेषण करें।

• (1) $2 + \sqrt{3}$: $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है। एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का योग हमेशा एक अपरिमेय संख्या होता है। इसलिए, $2 + \sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।
• (2) $\sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = 5\sqrt{5}$: $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है। एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल (शून्य को छोड़कर) हमेशा एक अपरिमेय संख्या होता है। इसलिए, $5\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।
• (3) $\sqrt[3]{20}$: $20$ एक पूर्ण घन नहीं है ($2^3=8, 3^3=27$)। इसलिए, $\sqrt[3]{20}$ एक अपरिमेय संख्या है।
• (4) $\sqrt{1.69} = \sqrt{\frac{169}{100}} = \frac{13}{10} = 1.3$: यह एक परिमेय संख्या है।

Step 3: दो अपरिमेय संख्याएँ चुनें। विकल्प (1), (2) और (3) तीनों अपरिमेय संख्याएँ हैं। चूंकि हमें दो अचूक विकल्प चुनने हैं, हम (1) और (2) को चुनेंगे।

• उत्तर: $\boxed{1, 2}$

प्र. 9: $\frac{7}{21}$ या परिमेय संख्येचे योग्य दशांश रूप कोणते? (परिमेय संख्या $\frac{7}{21}$ का सही दशमलव रूप क्या है?)

Step 1: भिन्न को सरल करें। $\frac{7}{21} = \frac{1}{3}$

Step 2: सरल किए गए भिन्न को दशमलव रूप में बदलें। $\frac{1}{3} = 0.333...$ यह एक आवर्ती दशमलव है, जिसे $0.\dot{3}$ के रूप में लिखा जाता है।

• उत्तर: $\boxed{2}$

प्र. 10: $\frac{-3}{5}$ या परिमेय संख्येशी समान असणारी परिमेय संख्या कोणती? (दोन अचूक पर्याय निवडा.) (परिमेय संख्या $\frac{-3}{5}$ के बराबर कौन सी परिमेय संख्या है? (दो सही विकल्प चुनें।))

Step 1: $\frac{-3}{5}$ के बराबर परिमेय संख्याएँ ज्ञात करें। हमें ऐसे भिन्न खोजने हैं जिन्हें सरल करने पर $\frac{-3}{5}$ प्राप्त हो।

Step 2: प्रत्येक विकल्प का विश्लेषण करें।

• (1) $\frac{-12}{20}$: अंश और हर को $4$ से विभाजित करने पर $\frac{-12 \div 4}{20 \div 4} = \frac{-3}{5}$ प्राप्त होता है। यह बराबर है।
• (2) $\frac{-9}{20}$: यह $\frac{-3}{5}$ के बराबर नहीं है, क्योंकि $\frac{-3}{5} = \frac{-3 \times 4}{5 \times 4} = \frac{-12}{20}$.
• (3) $\frac{-6}{5}$: यह $\frac{-3}{5}$ के बराबर नहीं है।
• (4) $\frac{-3}{5}$: यह स्वयं के बराबर है।

Step 3: दो सही विकल्प चुनें। विकल्प (1) और (4) सही हैं।

• उत्तर: $\boxed{1, 4}$