निम्नलिखित संचयी बारम्बारता बंंटन से विद्यार्थियों के अंकों का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए—

दिए गए संचयी बारम्बारता बंटन से समांतर माध्य ज्ञात करने के लिए, हम पहले इसे सामान्य बारम्बारता बंटन में बदलेंगे और फिर प्रत्यक्ष विधि का उपयोग करेंगे।

Step 1: संचयी बारम्बारता बंटन को सामान्य बारम्बारता बंटन में बदलें। "से ऊपर" प्रकार के संचयी बारम्बारता बंटन को सामान्य बारम्बारता बंटन में बदलने के लिए, हम प्रत्येक वर्ग-अन्तराल की बारम्बारता को पिछली संचयी बारम्बारता से वर्तमान संचयी बारम्बारता को घटाकर ज्ञात करते हैं।

| अंक (Marks) | विद्यार्थियों की संख्या (संचयी बारम्बारता, cf) | वर्ग-अन्तराल (Class Interval) | बारम्बारता ($f_i$) | वर्ग-चिह्न ($x_i$) | $f_i x_i$ | | :---------- | :------------------------------------------------ | :----------------------------- | :----------------- | :----------------- | :-------- | | 0 से ऊपर | 80 | 0-10 | $80 - 77 = 3$ | $\frac{0+10}{2} = 5$ | $3 \times 5 = 15$ | | 10 से ऊपर | 77 | 10-20 | $77 - 72 = 5$ | $\frac{10+20}{2} = 15$ | $5 \times 15 = 75$ | | 20 से ऊपर | 72 | 20-30 | $72 - 65 = 7$ | $\frac{20+30}{2} = 25$ | $7 \times 25 = 175$ | | 30 से ऊपर | 65 | 30-40 | $65 - 55 = 10$ | $\frac{30+40}{2} = 35$ | $10 \times 35 = 350$ | | 40 से ऊपर | 55 | 40-50 | $55 - 43 = 12$ | $\frac{40+50}{2} = 45$ | $12 \times 45 = 540$ | | 50 से ऊपर | 43 | 50-60 | $43 - 28 = 15$ | $\frac{50+60}{2} = 55$ | $15 \times 55 = 825$ | | 60 से ऊपर | 28 | 60-70 | $28 - 16 = 12$ | $\frac{60+70}{2} = 65$ | $12 \times 65 = 780$ | | 70 से ऊपर | 16 | 70-80 | $16 - 10 = 6$ | $\frac{70+80}{2} = 75$ | $6 \times 75 = 450$ | | 80 से ऊपर | 10 | 80-90 | $10 - 8 = 2$ | $\frac{80+90}{2} = 85$ | $2 \times 85 = 170$ | | 90 से ऊपर | 8 | 90-100 | $8 - 0 = 8$ | $\frac{90+100}{2} = 95$ | $8 \times 95 = 760$ | | 100 से ऊपर | 0 | | | | |

Step 2: कुल बारम्बारता ($\sum f_i$) और $\sum f_i x_i$ ज्ञात करें। कुल बारम्बारता: $\sum f_i = 3 + 5 + 7 + 10 + 12 + 15 + 12 + 6 + 2 + 8 = 80$ $\sum f_i x_i$: $\sum f_i x_i = 15 + 75 + 175 + 350 + 540 + 825 + 780 + 450 + 170 + 760 = 4140$

Step 3: समांतर माध्य ($\bar{x}$) की गणना करें। समांतर माध्य का सूत्र है: $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\bar{x} = \frac{4140}{80}$ $\bar{x} = 51.75$

अतः, विद्यार्थियों के अंकों का समांतर माध्य है: $\boxed{51.75}$