Répondre par vrai ou faux : Le nombre y = 156020 x 10⁻¹² a pour écriture scientifique 1,5602 x 10⁻⁷?

Voici la suite des solutions.

Exercice 1

• 1) Répondre par vrai ou faux

  • b) Le nombre $y = 156020 \times 10^{-12}$ a pour écriture scientifique $1,5602 \times 10^{-7}$? Pour écrire $y$ en notation scientifique, on déplace la virgule pour avoir un seul chiffre non nul avant elle.

    $$y = 156020 \times 10^{-12} = 1,56020 \times 10^5 \times 10^{-12}$$ $$y = 1,5602 \times 10^{5-12}$$ $$y = 1,5602 \times 10^{-7}$$

    L'affirmation est vraie. Réponse : Vrai

  • c) $10^{-9}$ et $\frac{10^{10} \times 10^5}{10^{-8} \times 10^3}$ ont la même forme d'une puissance de 10 (forme $10^n$)? Simplifions la deuxième expression :

    $$\frac{10^{10} \times 10^5}{10^{-8} \times 10^3} = \frac{10^{10+5}}{10^{-8+3}} = \frac{10^{15}}{10^{-5}}$$ $$= 10^{15 - (-5)} = 10^{15+5} = 10^{20}$$

    Puisque $10^{-9} \neq 10^{20}$, l'affirmation est fausse. Réponse : Faux

  • d) $0,00067 \times 10^{-30} : D = -42,5 \times 10^5$ est un nombre décimal relatif? L'expression $0,00067 \times 10^{-30}$ est un nombre décimal. L'expression $-42,5 \times 10^5$ est un nombre décimal. Le quotient de deux nombres décimaux n'est pas toujours un nombre décimal. Par exemple, $\frac{1}{3}$ n'est pas un décimal. Cependant, la question demande si le nombre $D$ est un nombre décimal relatif. Si $D = -42,5 \times 10^5$, alors $D$ est un nombre décimal relatif. Si la question est "le résultat de l'opération est un nombre décimal relatif", alors : $0,00067 \times 10^{-30} = 6,7 \times 10^{-4} \times 10^{-30} = 6,7 \times 10^{-34}$. C'est un nombre décimal. $-42,5 \times 10^5 = -4250000$. C'est un nombre décimal. L'affirmation est que $D$ est un nombre décimal relatif. L'énoncé est $0,00067 \times 10^{-30} : D = -42,5 \times 10^5$. Donc $D = \frac{0,00067 \times 10^{-30}}{-42,5 \times 10^5}$. $D = \frac{6,7 \times 10^{-34}}{-4,25 \times 10^6} = -\frac{6,7}{4,25} \times 10^{-34-6} = -\frac{6,7}{4,25} \times 10^{-40}$. $\frac{6,7}{4,25} = \frac{670}{425} = \frac{134}{85}$. Ce n'est pas un nombre décimal exact. Donc $D$ n'est pas un nombre décimal relatif. Réponse : Faux

  • e) $N \in \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$? $\mathbb{Z}$ est l'ensemble des entiers relatifs. $\mathbb{D}$ est l'ensemble des nombres décimaux. $\mathbb{Q}$ est l'ensemble des nombres rationnels. Tout entier relatif est un nombre décimal (par exemple, $3 = 3,0$). Tout nombre décimal est un nombre rationnel (par exemple, $0,5 = \frac{1}{2}$). Donc, l'inclusion $\mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$ est vraie. Réponse : Vrai

• 2) Compléter les pointillés de manière à obtenir les identités remarquables

  • i) $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
  • ii) $(... - ...)(... + ...) = a^2 - b^2$ L'identité remarquable est $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Réponse : $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$

Exercice 2

• 1) On donne les expressions littérales suivantes : $F = -3x^2 + x + 1$ et $G = x^2 - 5x + 4$.

  • a) Calculer la valeur numérique de $F$ pour $x=2$. Substituons $x=2$ dans l'expression de $F$:

    $$F = -3(2)^2 + (2) + 1$$ $$F = -3(4) + 2 + 1$$ $$F = -12 + 2 + 1$$ $$F = -10 + 1$$ $$F = -9$$

    La valeur numérique de $F$ pour $x=2$ est $\boxed{-9}$.

  • b) Réduire la somme algébrique $F+G$.

    $$F+G = (-3x^2 + x + 1) + (x^2 - 5x + 4)$$

    Regroupons les termes de même degré :

    $$F+G = (-3x^2 + x^2) + (x - 5x) + (1 + 4)$$ $$F+G = (-3+1)x^2 + (1-5)x + (1+4)$$ $$F+G = -2x^2 - 4x + 5$$

    La somme algébrique $F+G$ est $\boxed{-2x^2 - 4x + 5}$.

• 3) On donne $P = (x+2)(x+3)$ et $Q = (x-3)(x+1) + 7(x+1)$.

  • a) Développer et réduire $P$.

    $$P = (x+2)(x+3)$$

    Appliquons la double distributivité :

    $$P = x \cdot x + x \cdot 3 + 2 \cdot x + 2 \cdot 3$$ $$P = x^2 + 3x + 2x + 6$$ $$P = x^2 + 5x + 6$$

    La forme développée et réduite de $P$ est $\boxed{x^2 + 5x + 6}$.

  • b) Factoriser $Q$.

    $$Q = (x-3)(x+1) + 7(x+1)$$

    On observe que $(x+1)$ est un facteur commun.

    $$Q = (x+1) \left[ (x-3) + 7 \right]$$ $$Q = (x+1) (x-3+7)$$ $$Q = (x+1) (x+4)$$

    La forme factorisée de $Q$ est $\boxed{(x+1)(x+4)}$.

ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES

Exercice 1

• 1) On considère le parallélogramme ABCD suivant. Les points I, J, K et L sont les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD] et [AD] et O le milieu de [AC].

  • a) Donner deux vecteurs égaux au vecteur $\vec{JB}$. Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont égaux et parallèles, donc $\vec{AB} = \vec{DC}$ et $\vec{AD} = \vec{BC}$. J est le milieu de [BC]. $\vec{JB}$ est un vecteur allant de J à B. Puisque J est le milieu de [BC], $\vec{JB} = \vec{CJ}$. Aussi, dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu. O est le milieu de [AC]. Considérons le segment [AD]. L est le milieu de [AD]. Considérons le segment [AB]. I est le milieu de [AB]. Considérons le segment [CD]. K est le milieu de [CD]. Puisque ABCD est un parallélogramme, $\vec{AB} = \vec{DC}$. J est le milieu de [BC], K est le milieu de [CD]. $\vec{JB}$ est un vecteur. Dans le parallélogramme, $\vec{BC} = \vec{AD}$. Puisque J est le milieu de [BC], $\vec{JB} = \frac{1}{2}\vec{CB}$. Puisque L est le milieu de [AD], $\vec{LA} = \frac{1}{2}\vec{DA}$. Comme $\vec{CB} = \vec{DA}$, alors $\vec{JB} = \vec{LA}$. Un autre vecteur égal à $\vec{JB}$ est $\vec{CJ}$. Donc, deux vecteurs égaux à $\vec{JB}$ sont $\boxed{\vec{CJ} \text{ et } \vec{LA}}$.

  • b) Donner deux vecteurs opposés à $\vec{DA}$. Un vecteur opposé à $\vec{DA}$ est $\vec{AD}$. Dans le parallélogramme ABCD, $\vec{DA} = \vec{CB}$. Donc l'opposé de $\vec{DA}$ est l'opposé de $\vec{CB}$, qui est $\vec{BC}$. Donc, deux vecteurs opposés à $\vec{DA}$ sont $\boxed{\vec{AD} \text{ et } \vec{BC}}$.

  • c) Reproduis la figure et placer le point N tel que $\vec{ON} = \vec{CN}$. L'égalité $\vec{ON} = \vec{CN}$ signifie que le point N est confondu avec le point O et le point C. C'est seulement possible si O, C et N sont le même point. Cependant, O est le milieu de [AC]. Si N est confondu avec O et C, cela impliquerait que C est le milieu de [AC], ce qui est impossible à moins que A et C soient le même point. Il est probable qu'il y ait une erreur dans l'énoncé de cette question. Si l'intention était $\vec{ON} = \vec{CO}$, alors N serait tel que O est le milieu de CN. Si l'intention était $\vec{ON} = \vec{OC}$, alors N serait tel que O est le milieu de CN. Si l'intention était $\vec{ON} = \vec{NC}$, alors N serait le milieu de OC. Si l'intention était $\vec{ON} = \vec{CN}$, cela implique que $\vec{ON} - \vec{CN} = \vec{0}$, ce qui est $\vec{ON} + \vec{NC} = \vec{0}$, donc $\vec{OC} = \vec{0}$. Cela signifie que O et C sont le même point, ce qui est faux car O est le milieu de [AC] et A, C sont des points distincts d'un parallélogramme. Je vais supposer qu'il s'agit d'une erreur de frappe et que la question voulait dire $\vec{ON} = \vec{CO}$. Si $\vec{ON} = \vec{CO}$, cela signifie que O est le milieu du segment [CN]. Pour placer N, on part de C, on va à O, puis on continue dans la même direction et sur la même distance pour trouver N. Puisque O est le milieu de [AC], $\vec{AO} = \vec{OC}$. Si $\vec{ON} = \vec{CO}$, alors $\vec{ON} = -\vec{OC}$. Cela signifie que N est le point tel que O est le milieu de [CN]. Pour reproduire la figure et placer N, il faudrait dessiner le parallélogramme ABCD, placer les milieux I, J, K, L et le point O. Ensuite, à partir de C, on trace le vecteur $\vec{CO}$, et on reporte ce vecteur à partir de O pour trouver N. (Je ne peux pas reproduire la figure ici, mais je peux décrire la construction).

    1. Dessine le parallélogramme ABCD.
    2. Trace la diagonale [AC].
    3. Place le point O au milieu de [AC].
    4. Pour placer N tel que $\vec{ON} = \vec{CO}$, trace le vecteur $\vec{CO}$ (de C vers O).
    5. À partir de O, trace un vecteur égal à $\vec{CO}$. Le point d'arrivée de ce vecteur est N. Cela signifie que O est le milieu de [CN].

• 2) Réduire les sommes vectorielles suivantes

  • a) $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CF}$ Utilisons la relation de Chasles : $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$. Donc, $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CF} = \vec{AC} + \vec{CF}$. En utilisant à nouveau la relation de Chasles : $\vec{AC} + \vec{CF} = \vec{AF}$. La somme vectorielle est $\boxed{\vec{AF}}$.

  • b) $\vec{CM} - \vec{AM} + \vec{AP}$ On sait que $-\vec{AM} = \vec{MA}$. Donc, $\vec{CM} - \vec{AM} + \vec{AP} = \vec{CM} + \vec{MA} + \vec{AP}$. Utilisons la relation de Chasles : $\vec{CM} + \vec{MA} = \vec{CA}$. Donc, $\vec{CA} + \vec{AP}$. En utilisant à nouveau la relation de Chasles : $\vec{CA} + \vec{AP} = \vec{CP}$. La somme vectorielle est $\boxed{\vec{CP}}$.