Sejam as funções f e g, definidas em IR, cujas expressões analíticas são f(x) = (x−3)² +2 e g(x) = ax −5. Determina os valores de a para os quais as representações gráficas de f e de g têm um único ponto em comum.

$$f(x) = g(x)$$ $$(x-3)^2 + 2 = ax - 5$$

$$(x^2 - 6x + 9) + 2 = ax - 5$$ $$x^2 - 6x + 11 = ax - 5$$ $$x^2 - 6x - ax + 11 + 5 = 0$$ $$x^2 - (6+a)x + 16 = 0$$

Para uma equação quadrática $Ax^2 + Bx + C = 0$, o discriminante é $\Delta = B^2 - 4AC$.
Neste caso, $A=1$, $B=-(6+a)$ e $C=16$.

$$\Delta = (-(6+a))^2 - 4(1)(16)$$ $$\Delta = (6+a)^2 - 64$$

$$(6+a)^2 = 64$$ $$6+a = \pm\sqrt{64}$$ $$6+a = \pm 8$$

Temos duas possibilidades:

$$6+a = 8 \implies a = 8 - 6 \implies a = 2$$ $$6+a = -8 \implies a = -8 - 6 \implies a = -14$$

Os valores de $a$ para os quais as representações gráficas de $f$ e de $g$ têm um único ponto em comum são:

$$a = 2 \quad \text{ou} \quad a = -14$$