Simplify the expression A = (cos2(x) + sin2(x) + 2sin(x)cos(x)) + (cos2(x) + sin2(x) - 2sin(x)cos(x)) and solve the equations: cos(x) = sqrt(3), sin(x) = sqrt(2)/2, tan(x) = sqrt(3)/3.

... $\cos(x)\cos(x) + \sin^2(x))$
نستخدم المتطابقة الأساسية $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$.

$$A = (\cos^2(x) + \sin^2(x) + 2\sin(x)\cos(x)) + (\cos^2(x) + \sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x))$$ $$A = (1 + 2\sin(x)\cos(x)) + (1 - 2\sin(x)\cos(x))$$ $$A = 1 + 2\sin(x)\cos(x) + 1 - 2\sin(x)\cos(x)$$ $$A = 2$$

إذن، تبسيط التعبير هو:

$$A = \boxed{2}$$

2. حل المعادلات التالية:

• أ) $\cos(x) = \sqrt{3}$ نحن نعلم أن مدى دالة جيب التمام (cosine) هو $[-1, 1]$. بما أن $\sqrt{3} \approx 1.732$، وهي قيمة أكبر من 1، فلا توجد قيمة حقيقية لـ $x$ تحقق هذه المعادلة. مجموعة الحل هي:

  $$S = \boxed{\emptyset}$$

• ب) $\sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ القيمة الأساسية لـ $x$ التي تحقق $\sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ هي $\frac{\pi}{4}$. الحلول العامة لمعادلة $\sin(x) = a$ هي $x = \alpha + 2k\pi$ أو $x = \pi - \alpha + 2k\pi$, حيث $k \in \mathbb{Z}$. إذن، لدينا حالتان:

  $$x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$$

  أو

  $$x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2k\pi = \frac{4\pi - \pi}{4} + 2k\pi = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi$$

  مجموعة الحل هي:

  $$S = \boxed{\left\{\frac{\pi}{4} + 2k\pi, \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}}$$

• ج) $\tan(x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ القيمة الأساسية لـ $x$ التي تحقق $\tan(x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ هي $\frac{\pi}{6}$. الحلول العامة لمعادلة $\tan(x) = a$ هي $x = \alpha + k\pi$, حيث $k \in \mathbb{Z}$. إذن، لدينا:

  $$x = \frac{\pi}{6} + k\pi$$

  مجموعة الحل هي:

  $$S = \boxed{\left\{\frac{\pi}{6} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}}$$