Soit f une fonction. Montrer que si f est impaire sur I U I', alors les variations de f sont les mêmes sur I et I'. Étudier la monotonie de f sur R+ = [0; +∞[ puis sur R- = ]-∞; 0]

مجال تعريف الدالة $f(x) = x^2 - 1$ هو جميع الأعداد الحقيقية، أي $D_f = \mathbb{R}$.
نلاحظ أن المجال $\mathbb{R}$ متماثل بالنسبة للصفر، أي لكل $x \in \mathbb{R}$، فإن $-x \in \mathbb{R}$ أيضاً.

نعوض $x$ بـ $-x$ في تعبير الدالة:

نلاحظ أن $f(-x) = x^2 - 1$ وهو نفس تعبير $f(x)$.
إذن، $f(-x) = f(x)$.

الاستنتاج:
بما أن $D_f = \mathbb{R}$ متماثل بالنسبة للصفر و $f(-x) = f(x)$ لكل $x \in D_f$, فإن الدالة $f$ هي دالة زوجية.
$\boxed{\text{الدالة } f(x) = x^2 - 1 \text{ زوجية.}}$

القاعدة المستعملة:

• تعريف الدالة الزوجية: تكون الدالة $f$ زوجية إذا كان مجال تعريفها $D_f$ متماثلاً بالنسبة للصفر، ولكل $x \in D_f$، لدينا $f(-x) = f(x)$.

الجزء 2: دراسة رتابة (monotonicity) الدالة $f$ على $\mathbb{R}^+ = [0, +\infty[$ ثم على $\mathbb{R}^- = ]-\infty, 0]$.

نستخدم قواعد الاشتقاق: مشتقة $x^n$ هي $nx^{n-1}$، ومشتقة الثابت هي صفر.

على المجال $[0, +\infty[$، تكون قيم $x$ موجبة أو تساوي صفر.
إذا كان $x > 0$, فإن $2x > 0$.
إذا كان $x = 0$, فإن $2x = 0$.
إذن، $f'(x) \ge 0$ لكل $x \in [0, +\infty[$.

بما أن $f'(x) \ge 0$ على المجال $[0, +\infty[$, فإن الدالة $f$ تزايدية على هذا المجال.

على المجال $]-\infty, 0]$, تكون قيم $x$ سالبة أو تساوي صفر.
إذا كان $x < 0$, فإن $2x < 0$.
إذا كان $x = 0$, فإن $2x = 0$.
إذن، $f'(x) \le 0$ لكل $x \in ]-\infty, 0]$.

بما أن $f'(x) \le 0$ على المجال $]-\infty, 0]$, فإن الدالة $f$ تناقصية على هذا المجال.

الاستنتاج النهائي للرتابة:

• الدالة $f$ تناقصية على المجال $]-\infty, 0]$.
• الدالة $f$ تزايدية على المجال $[0, +\infty[$.

$\boxed{\text{الدالة } f \text{ تناقصية على } ]-\infty, 0] \text{ وتزايدية على } [0, +\infty[.}$

ملاحظة: هذا يتوافق مع خاصية الدوال الزوجية التي ذكرتها في الصورة: إذا كانت الدالة زوجية، فإن تغيراتها تكون متعاكسة على مجالين متناظرين بالنسبة للصفر (مثل $]-\infty, 0]$ و $[0, +\infty[$).

ملخص القواعد المستعملة:

• تعريف الدالة الزوجية (Fonction paire): تكون الدالة $f$ زوجية إذا كان مجال تعريفها $D_f$ متماثلاً بالنسبة للصفر (أي لكل $x \in D_f$, فإن $-x \in D_f$)، وتحقق الشرط $f(-x) = f(x)$ لكل $x \in D_f$.
• اشتقاق الدوال الحدودية (Dérivation des fonctions polynomiales):
  • مشتقة الثابت $c$ هي 0: $\frac{d}{dx}(c) = 0$.
  • مشتقة $x^n$ هي $nx^{n-1}$: $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$.
  • مشتقة مجموع أو فرق دالتين هي مجموع أو فرق مشتقاتهما: $\frac{d}{dx}(u(x) \pm v(x)) = u'(x) \pm v'(x)$.
• العلاقة بين إشارة المشتقة ورتابة الدالة (Lien entre le signe de la dérivée et la monotonie de la fonction):
  • إذا كانت $f'(x) > 0$ على مجال ما، فإن الدالة $f$ تكون تزايدية قطعاً على هذا المجال.
  • إذا كانت $f'(x) < 0$ على مجال ما، فإن الدالة $f$ تكون تناقصية قطعاً على هذا المجال.
  • إذا كانت $f'(x) = 0$ على مجال ما، فإن الدالة $f$ تكون ثابتة على هذا المجال.
• خاصية رتابة الدوال الزوجية: إذا كانت الدالة $f$ زوجية، فإن رتابتها تكون متعاكسة على مجالين متناظرين بالنسبة للصفر. أي إذا كانت تزايدية على $[0, a]$، فإنها تكون تناقصية على $[-a, 0]$، والعكس صحيح.

أنجزت 2. تبقّى 3 اليوم — أرسل التالي.