Soit la fonction définie sur l'intervalle I = [1/4, +∞[ par f(x) = x³ + 2x − 1/x - 4. Montrer que la fonction f admet une fonction réciproque f⁻¹ définie sur un intervalle J à déterminer. Calculer f⁻¹(x), ∀x ∈ J.

La fonction $f(x) = x^2 + x + 1$ est une fonction polynomiale. Les fonctions polynomiales sont continues sur $\mathbb{R}$. Par conséquent, $f$ est continue sur l'intervalle $I = \left[\frac{1}{4}, +\infty\right[$.

Calculons la dérivée de $f(x)$:

Pour tout $x \in I = \left[\frac{1}{4}, +\infty\right[$, nous avons $x \ge \frac{1}{4}$.
Donc, $2x \ge 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.
Par suite, $2x + 1 \ge \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$.
Puisque $f'(x) \ge \frac{3}{2} > 0$ pour tout $x \in I$, la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $I$.

Puisque $f$ est continue et strictement croissante sur $I = \left[\frac{1}{4}, +\infty\right[$, elle admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur l'intervalle $J = f(I)$.
L'intervalle $J$ est donné par $J = \left[f\left(\frac{1}{4}\right), \lim_{x \to +\infty} f(x)\right]$.
Calculons $f\left(\frac{1}{4}\right)$:

Calculons la limite de $f(x)$ lorsque $x \to +\infty$:

Donc, l'intervalle $J$ est $\boxed{J = \left[\frac{21}{16}, +\infty\right[}$.
La fonction $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur $J = \left[\frac{21}{16}, +\infty\right[$.

2) Calculer $f^{-1}(x)$ pour tout $x \in J$.

Soit $y \in J$. Nous cherchons $x \in I$ tel que $f(x) = y$.

Réarrangeons l'équation pour former une équation quadratique en $x$:

C'est une équation quadratique de la forme $ax^2 + bx + c = 0$ avec $a=1$, $b=1$, et $c=(1-y)$.
Utilisons la formule quadratique pour $x$:

Puisque $x \in I = \left[\frac{1}{4}, +\infty\right[$, $x$ doit être supérieur ou égal à $\frac{1}{4}$.
La solution $x = \frac{-1 - \sqrt{4y - 3}}{2}$ est toujours négative (car $\sqrt{4y-3} \ge 0$), ce qui n'est pas dans l'intervalle $I$.
Nous devons donc choisir la solution positive:

Cette solution est valide car pour $y \in J = \left[\frac{21}{16}, +\infty\right[$, on a $y \ge \frac{21}{16}$, ce qui implique $\sqrt{4y-3} \ge \frac{3}{2}$, et donc $\frac{-1 + \sqrt{4y - 3}}{2} \ge \frac{-1 + \frac{3}{2}}{2} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$.

En remplaçant $y$ par $x$ pour la notation de la fonction réciproque, nous obtenons: