Démontre que f est une bijection de R sur un intervalle J à préciser. Dresse le tableau de variation de la bijection réciproque f⁻¹ de f.

D'après l'énoncé, nous avons les informations suivantes :

• La moitié des paires de chaussettes est fabriquée par le fournisseur $\text{F}_1$, donc $\text{P(F}_1) = \frac{1}{2}$.
• Le tiers des paires de chaussettes est fabriquée par le fournisseur $\text{F}_2$, donc $\text{P(F}_2) = \frac{1}{3}$.
• Le reste est fabriqué par le fournisseur $\text{F}_3$. Nous calculons $\text{P(F}_3)$ :

Les probabilités conditionnelles de défaut sont :

• $\text{P(D|F}_1) = 16\% = \frac{16}{100} = \frac{4}{25}$
• $\text{P(D|F}_2) = 12\% = \frac{12}{100} = \frac{3}{25}$
• $\text{P(D|F}_3) = 8\% = \frac{8}{100} = \frac{2}{25}$

La question demande de préciser $\text{P(F}_1)$ et $\text{P(D)}$. Étant donné que $\text{P(D)}$ est calculée à la question 5, nous interprétons la question 1 comme demandant $\text{P(F}_1)$ et les probabilités conditionnelles de défaut pour chaque fournisseur, qui sont les probabilités initiales de défaut.
$\text{P(F}_1) = \boxed{\frac{1}{2}}$
$\text{P(D|F}_1) = \boxed{\frac{4}{25}}$
$\text{P(D|F}_2) = \boxed{\frac{3}{25}}$
$\text{P(D|F}_3) = \boxed{\frac{2}{25}}$

Justifier que $\text{P(F}_2) = \frac{1}{3}$.
D'après l'énoncé, "le tiers des paires de chaussettes est fabriquée par le fournisseur $\text{F}_2$".
Donc, $\text{P(F}_2) = \boxed{\frac{1}{3}}$.

L'arbre pondéré représentant la situation est le suivant :

Traduire l'événement $\text{F}_2 \cap \text{D}$ par une phrase puis calculer $\text{P(F}_2 \cap \text{D})$.
L'événement $\text{F}_2 \cap \text{D}$ signifie : La paire de chaussettes prélevée a été fabriquée par le fournisseur $\text{F}_2$ et présente un défaut.
Le calcul de $\text{P(F}_2 \cap \text{D})$ est :

Justifier que la probabilité que la paire de chaussettes choisie présente un défaut est égale à $\frac{2}{15}$.
Nous utilisons la formule des probabilités totales pour calculer $\text{P(D)}$ :

Simplifions les fractions :

Pour additionner, nous utilisons le dénominateur commun 75 :

En simplifiant par 5 :

La probabilité qu'une paire de chaussettes choisie présente un défaut est bien $\frac{2}{15}$.

Une paire de chaussettes prélevée dans le stock présente un défaut. Calculer la probabilité qu'elle provienne du fournisseur $\text{F}_3$.
Il s'agit de calculer $\text{P(F}_3|\text{D})$ en utilisant la formule de Bayes :

Nous avons $\text{P(D|F}_3) = \frac{2}{25}$, $\text{P(F}_3) = \frac{1}{6}$ et $\text{P(D)} = \frac{2}{15}$ (calculé à la question 5).
Calculons d'abord le numérateur $\text{P(D} \cap \text{F}_3)$ :

Maintenant, calculons $\text{P(F}_3|\text{D})$ :

En simplifiant par 15 :