14 Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = 2x−2 / x²+3. Détermine les images par f des intervalles : ]-4; 4]; [-1; 3]; [0; +∞[

Le dénominateur $x^2 + 3$ est toujours strictement positif pour tout $x \in \mathbb{R}$ (car $x^2 \ge 0 \implies x^2+3 \ge 3$).
Donc, le domaine de définition de $f$ est $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}$.

La fonction $f$ est de la forme $\frac{u}{v}$ avec $u(x) = 2x - 2$ et $v(x) = x^2 + 3$.
Alors $u'(x) = 2$ et $v'(x) = 2x$.

Le signe de $f'(x)$ est celui du numérateur $-2(x^2 - 2x - 3)$, car le dénominateur $(x^2 + 3)^2$ est toujours positif.
Résolvons $x^2 - 2x - 3 = 0$. Le discriminant est $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16$.
Les racines sont $x_1 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1$ et $x_2 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3$.
Le trinôme $x^2 - 2x - 3$ est positif à l'extérieur des racines et négatif entre les racines.
Donc, $-2(x^2 - 2x - 3)$ est :

• Négatif pour $x \in ]-\infty; -1[$
• Positif pour $x \in ]-1; 3[$
• Négatif pour $x \in ]3; +\infty[$

• Minimum local en $x = -1$: $f(-1) = \frac{2(-1) - 2}{(-1)^2 + 3} = \frac{-4}{4} = -1$.
• Maximum local en $x = 3$: $f(3) = \frac{2(3) - 2}{(3)^2 + 3} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
• Limites à l'infini: $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{x^2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2}{x} = 0$$ $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{x} = 0$$

Détermine les images par $f$ des intervalles :

• Image de $]-4; 4]$ Calculons les valeurs aux bornes et aux extrema locaux dans l'intervalle : $f(-4) = \frac{2(-4) - 2}{(-4)^2 + 3} = \frac{-10}{19}$. $f(-1) = -1$. $f(3) = \frac{1}{3}$. $f(4) = \frac{2(4) - 2}{(4)^2 + 3} = \frac{6}{19}$. En considérant la monotonie de $f$ sur les sous-intervalles, l'image est l'union des images de ces sous-intervalles. Le minimum atteint est $f(-1)=-1$ et le maximum est $f(3)=1/3$.

  $$\boxed{f(]-4; 4]) = [-1; 1/3]}$$

• Image de $[-1; 3]$ Sur cet intervalle, la fonction $f$ est strictement croissante. L'image est donc $[f(-1); f(3)]$.

  $$\boxed{f([-1; 3]) = [-1; 1/3]}$$

• Image de $[0; +\infty[$ Calculons la valeur à la borne inférieure : $f(0) = \frac{2(0) - 2}{0^2 + 3} = \frac{-2}{3}$. Sur $[0; 3]$, $f$ est croissante de $f(0) = -2/3$ à $f(3) = 1/3$. Sur $[3; +\infty[$, $f$ est décroissante de $f(3) = 1/3$ à $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$. L'union de ces images est $[-2/3; 1/3]$.

  $$\boxed{f([0; +\infty[) = [-2/3; 1/3]}$$

Déterminer le nombre de solutions d'une équation du type $f(x) = m$

Nous utilisons le tableau de variations pour déterminer le nombre d'intersections entre la droite horizontale $y=m$ et la courbe de $f(x)$.

• Si $m \in ]-\infty; -1[$ : 0 solution.
• Si $m = -1$ : 1 solution (pour $x=-1$).
• Si $m \in ]-1; 0[$ : 2 solutions.
• Si $m = 0$ : 1 solution (pour $x=1$, car $f(1) = \frac{2(1)-2}{1^2+3} = 0$).
• Si $m \in ]0; 1/3[$ : 2 solutions.
• Si $m = 1/3$ : 1 solution (pour $x=3$).
• Si $m \in ]1/3; +\infty[$ : 0 solution.