Soit le polynôme P défini dans C, par P(z) = z³ - (3 + 2i)z² + (1 + 4i)z + 1 - 2i Calcule P(i) Vérifie que ∀x ∈ C, P(z) = (z − i)[z² − (3 + i)z + 2 + i] Vérifie que 1 + i est une racine de 2i. Résous dans C, l'équation : P(z) = 0

Voici la résolution détaillée de l'Exercice 3.

Exercice 3 (3 points)

Soit le polynôme $P(z) = z^3 - (3+2i)z^2 + (1+4i)z + 1 - 2i$.

1. Calcul de $P(i)$ : Substituons $z=i$ dans l'expression de $P(z)$ : $P(i) = i^3 - (3+2i)i^2 + (1+4i)i + 1 - 2i$ On utilise $i^2 = -1$ et $i^3 = -i$ : $P(i) = -i - (3+2i)(-1) + (i+4i^2) + 1 - 2i$ $P(i) = -i + (3+2i) + (i-4) + 1 - 2i$ Regroupons les parties réelles et imaginaires : $P(i) = (3 - 4 + 1) + (-1 + 2 + 1 - 2)i$ $P(i) = 0 + 0i$ $P(i) = 0$

2. Vérification de la factorisation : On doit vérifier que $P(z) = (z-i)[z^2 - (3+i)z + 2+i]$. Développons le membre de droite : \begin{align*} (z-i)[z^2 - (3+i)z + 2+i] &= z(z^2 - (3+i)z + 2+i) - i(z^2 - (3+i)z + 2+i) \ &= z^3 - (3+i)z^2 + (2+i)z - iz^2 + i(3+i)z - i(2+i) \ &= z^3 - (3+i)z^2 + (2+i)z - iz^2 + (3i+i^2)z - (2i+i^2) \ &= z^3 - (3+i)z^2 + (2+i)z - iz^2 + (3i-1)z - (2i-1) \ &= z^3 - (3+i+i)z^2 + (2+i+3i-1)z + 1 - 2i \ &= z^3 - (3+2i)z^2 + (1+4i)z + 1 - 2i \end{align*} Le développement correspond bien à $P(z)$. La vérification est confirmée.

3. Vérification que $1+i$ est une racine de $2i$ : Pour vérifier que $1+i$ est une racine de $2i$, il faut calculer $(1+i)^2$ et voir si le résultat est $2i$. $(1+i)^2 = 1^2 + 2(1)(i) + i^2$ $(1+i)^2 = 1 + 2i - 1$ $(1+i)^2 = 2i$ La vérification est confirmée.

4. Résolution de l'équation $P(z) = 0$ dans $\mathbb{C}$ : D'après la question 2, on a $P(z) = (z-i)[z^2 - (3+i)z + 2+i] = 0$. Cela implique que $z-i = 0$ ou $z^2 - (3+i)z + 2+i = 0$.

   • La première solution est $z_1 = i$.

   • Pour les autres solutions, résolvons l'équation quadratique $z^2 - (3+i)z + 2+i = 0$. Calculons le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ : $\Delta = (-(3+i))^2 - 4(1)(2+i)$ $\Delta = (3+i)^2 - 4(2+i)$ $\Delta = (3^2 + 2 \cdot 3 \cdot i + i^2) - (8+4i)$ $\Delta = (9 + 6i - 1) - (8+4i)$ $\Delta = (8 + 6i) - (8+4i)$ $\Delta = 2i$ D'après la question 3, on sait que $(1+i)^2 = 2i$. Donc, une racine carrée de $\Delta$ est $\delta = 1+i$. Les solutions de l'équation quadratique sont données par $z = \frac{-b \pm \delta}{2a}$ : $z = \frac{(3+i) \pm (1+i)}{2}$ Les deux autres solutions sont : $z_2 = \frac{(3+i) + (1+i)}{2} = \frac{4+2i}{2} = 2+i$ $z_3 = \frac{(3+i) - (1+i)}{2} = \frac{2}{2} = 1$ L'ensemble des solutions de $P(z)=0$ est donc : $S = \{1, i, 2+i\}$

3 done, 2 left today. You're making progress.