Soit le polynôme P défini dans C, par P(z) = z³ - (3 + 2i)z² + (1 + 4i)z + 1 - 2i Calcule P(i) Vérifie que ∀x ∈ C, P(z) = (z − i)[z² − (3 + i)z + 2 + i] Vérifie que 1 + i est une racine de 2i. Résous dans C, l'équation : P(z) = 0

Voici la résolution détaillée de l'Exercice 3. Exercice 3 (3 points) Soit le polynôme P(z) = z^3 - (3+2i)z^2 + (1+4i)z + 1 - 2i. 1. Calcul de P(i) : Substituons z=i dans l'expression de P(z) : P(i) = i^3 - (3+2i)i^2 + (1+4i)i + 1 - 2i On utilise i^2 = -1 et i^3 = -i : P(i) = -i - (3+2i)(-1) + (i+4i^2) + 1 - 2i P(i) = -i + (3+2i) + (i-4) + 1 - 2i Regroupons les parties réelles et imaginaires : P(i) = (3 - 4 + 1) + (-1 + 2 + 1 - 2)i P(i) = 0 + 0i P(i) = 0 2. Vérification de la factorisation : On doit vérifier que P(z) = (z-i)[z^2 - (3+i)z + 2+i]. Développons le membre de droite : (z-i)[z^2 - (3+i)z + 2+i] &= z(z^2 - (3+i)z + 2+i) - i(z^2 - (3+i)z + 2+i) \\ &= z^3 - (3+i)z^2 + (2+i)z - iz^2 + i(3+i)z - i(2+i) \\ &= z^3 - (3+i)z^2 + (2+i)z - iz^2 + (3i+i^2)z - (2i+i^2) \\ &= z^3 - (3+i)z^2 + (2+i)z - iz^2 + (3i-1)z - (2i-1) \\ &= z^3 - (3+i+i)z^2 + (2+i+3i-1)z + 1 - 2i \\ &= z^3 - (3+2i)z^2 + (1+4i)z + 1 - 2i Le développement correspond bien à P(z). La vérification est confirmée. 3. Vérification que 1+i est une racine de 2i : Pour vérifier que 1+i est une racine de 2i, il faut calculer (1+i)^2 et voir si le résultat est 2i. (1+i)^2 = 1^2 + 2(1)(i) + i^2 (1+i)^2 = 1 + 2i - 1 (1+i)^2 = 2i La vérification est confirmée. 4. Résolution de l'équation P(z) = 0 dans C : D'après la question 2, on a P(z) = (z-i)[z^2 - (3+i)z + 2+i] = 0. Cela implique que z-i = 0 ou z^2 - (3+i)z + 2+i = 0. La première solution est z_1 = i. Pour les autres solutions, résolvons l'équation quadratique z^2 - (3+i)z + 2+i = 0. Calculons le discriminant = b^2 - 4ac : = (-(3+i))^2 - 4(1)(2+i) = (3+i)^2 - 4(2+i) = (3^2 + 2 · 3 · i + i^2) - (8+4i) = (9 + 6i - 1) - (8+4i) = (8 + 6i) - (8+4i) = 2i D'après la question 3, on sait que (1+i)^2 = 2i. Donc, une racine carrée de est = 1+i. Les solutions de l'équation quadratique sont données par z = (-b ± )/(2a) : z = ((3+i) ± (1+i))/(2) Les deux autres solutions sont : z_2 = ((3+i) + (1+i))/(2) = (4+2i)/(2) = 2+i z_3 = ((3+i) - (1+i))/(2) = (2)/(2) = 1 L'ensemble des solutions de P(z)=0 est donc : S = \1, i, 2+i\ 3 done, 2 left today. You're making progress.