Soit le polynôme P défini dans C, par P(z) = z³ - (3 + 2i)z² + (1 + 4i)z + 1 - 2i Calcule P(i) Vérifie que ∀x ∈ C, P(z) = (z − i)[z² − (3 + i)z + 2 + i] Vérifie que 1 + i est une racine de 2i. Résous dans C, l'équation : P(z) = 0

Substituons $z=i$ dans l'expression de $P(z)$ :

On utilise $i^2 = -1$ et $i^3 = -i$ :

Regroupons les parties réelles et imaginaires :

On doit vérifier que $P(z) = (z-i)[z^2 - (3+i)z + 2+i]$.
Développons le membre de droite :
\begin{align*} (z-i)[z^2 - (3+i)z + 2+i] &= z(z^2 - (3+i)z + 2+i) - i(z^2 - (3+i)z + 2+i) \ &= z^3 - (3+i)z^2 + (2+i)z - iz^2 + i(3+i)z - i(2+i) \ &= z^3 - (3+i)z^2 + (2+i)z - iz^2 + (3i+i^2)z - (2i+i^2) \ &= z^3 - (3+i)z^2 + (2+i)z - iz^2 + (3i-1)z - (2i-1) \ &= z^3 - (3+i+i)z^2 + (2+i+3i-1)z + 1 - 2i \ &= z^3 - (3+2i)z^2 + (1+4i)z + 1 - 2i \end{align*}
Le développement correspond bien à $P(z)$. La vérification est confirmée.

Pour vérifier que $1+i$ est une racine de $2i$, il faut calculer $(1+i)^2$ et voir si le résultat est $2i$.

La vérification est confirmée.

D'après la question 2, on a $P(z) = (z-i)[z^2 - (3+i)z + 2+i] = 0$.
Cela implique que $z-i = 0$ ou $z^2 - (3+i)z + 2+i = 0$.

• La première solution est $z_1 = i$.

• Pour les autres solutions, résolvons l'équation quadratique $z^2 - (3+i)z + 2+i = 0$. Calculons le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ :

  $$\Delta = (-(3+i))^2 - 4(1)(2+i)$$ $$\Delta = (3+i)^2 - 4(2+i)$$ $$\Delta = (3^2 + 2 \cdot 3 \cdot i + i^2) - (8+4i)$$ $$\Delta = (9 + 6i - 1) - (8+4i)$$ $$\Delta = (8 + 6i) - (8+4i)$$ $$\Delta = 2i$$

  D'après la question 3, on sait que $(1+i)^2 = 2i$. Donc, une racine carrée de $\Delta$ est $\delta = 1+i$. Les solutions de l'équation quadratique sont données par $z = \frac{-b \pm \delta}{2a}$ :

  $$z = \frac{(3+i) \pm (1+i)}{2}$$

  Les deux autres solutions sont :

  $$z_2 = \frac{(3+i) + (1+i)}{2} = \frac{4+2i}{2} = 2+i$$ $$z_3 = \frac{(3+i) - (1+i)}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

L'ensemble des solutions de $P(z)=0$ est donc :