This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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Step 1: अनेकैक फलन (Many-one function) सिद्ध करना। एक फलन f: A B अनेकैक होता है यदि डोमेन A में कम से कम दो भिन्न अवयव कोडोमेन B में एक ही अवयव पर मैप होते हैं। यहाँ फलन f(x) = x^2 है। मान लीजिए x_1 = 1 और x_2 = -1 डोमेन R के दो भिन्न अवयव हैं। तब, f(1) = 1^2 = 1 f(-1) = (-1)^2 = 1 चूँकि x_1 ≠ x_2 लेकिन f(x_1) = f(x_2), इसलिए फलन f(x) = x^2 एक अनेकैक फलन है। Step 2: अंतःक्षेपी फलन (Into function) सिद्ध करना। एक फलन f: A B अंतःक्षेपी होता है यदि उसकी रेंज (परिसर) उसके कोडोमेन (सह-डोमेन) का एक उचित उपसमुच्चय हो (अर्थात, रेंज ≠ कोडोमेन)। यहाँ कोडोमेन R (सभी वास्तविक संख्याएँ) है। फलन f(x) = x^2 है। किसी भी वास्तविक संख्या x के लिए, x^2 0 होता है। इसलिए, फलन f(x) = x^2 का परिसर [0, ) है। चूँकि परिसर [0, ) कोडोमेन R का एक उचित उपसमुच्चय है (उदाहरण के लिए, कोडोमेन में ऋणात्मक संख्याएँ शामिल हैं जो परिसर में नहीं हैं), इसलिए फलन f(x) = x^2 एक अंतःक्षेपी फलन है। Step 3: निष्कर्ष। चूँकि फलन f(x) = x^2 अनेकैक और अंतःक्षेपी दोनों है, इसलिए यह एक अनेकैक अंतःक्षेपी फलन है। अतः, यह सिद्ध होता है कि फलन f: R R, जहाँ f(x) = x^2, x R एक अनेकैक अंतःक्षेपी फलन है। सिद्ध हुआ अगला प्रश्न भेजें 📸