Prove that the function f:R→R where f(x)=x², x∈R is many-one into function.

एक फलन $f: A \to B$ अनेकैक होता है यदि डोमेन $A$ में कम से कम दो भिन्न अवयव कोडोमेन $B$ में एक ही अवयव पर मैप होते हैं।
यहाँ फलन $f(x) = x^2$ है।
मान लीजिए $x_1 = 1$ और $x_2 = -1$ डोमेन $\mathbb{R}$ के दो भिन्न अवयव हैं।
तब,

चूँकि $x_1 \neq x_2$ लेकिन $f(x_1) = f(x_2)$, इसलिए फलन $f(x) = x^2$ एक अनेकैक फलन है।

एक फलन $f: A \to B$ अंतःक्षेपी होता है यदि उसकी रेंज (परिसर) उसके कोडोमेन (सह-डोमेन) का एक उचित उपसमुच्चय हो (अर्थात, रेंज $\neq$ कोडोमेन)।
यहाँ कोडोमेन $\mathbb{R}$ (सभी वास्तविक संख्याएँ) है।
फलन $f(x) = x^2$ है। किसी भी वास्तविक संख्या $x$ के लिए, $x^2 \ge 0$ होता है।
इसलिए, फलन $f(x) = x^2$ का परिसर $[0, \infty)$ है।
चूँकि परिसर $[0, \infty)$ कोडोमेन $\mathbb{R}$ का एक उचित उपसमुच्चय है (उदाहरण के लिए, कोडोमेन में ऋणात्मक संख्याएँ शामिल हैं जो परिसर में नहीं हैं), इसलिए फलन $f(x) = x^2$ एक अंतःक्षेपी फलन है।

चूँकि फलन $f(x) = x^2$ अनेकैक और अंतःक्षेपी दोनों है, इसलिए यह एक अनेकैक अंतःक्षेपी फलन है।

अतः, यह सिद्ध होता है कि फलन $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, जहाँ $f(x) = x^2$, $x \in \mathbb{R}$ एक अनेकैक अंतःक्षेपी फलन है।