Prove that the function f: R -> R where f(x) = x2, x belongs to R is many-one into function. Prove that the relation R in the set 1, 2, 3 given by R = (1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,3) is reflexive but neither symmetric nor transitive.

एक फलन अनेकानेक होता है यदि डोमेन के दो या दो से अधिक भिन्न अवयवों का कोडोमेन में एक ही प्रतिबिंब हो।
माना $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ ऐसे हैं कि $f(x_1) = f(x_2)$।

इससे $x_1 = x_2$ या $x_1 = -x_2$ प्राप्त होता है।
उदाहरण के लिए, यदि $x_1 = 2$ और $x_2 = -2$, तो $x_1 \neq x_2$ लेकिन $f(2) = 2^2 = 4$ और $f(-2) = (-2)^2 = 4$।
चूंकि $f(2) = f(-2)$ जबकि $2 \neq -2$, इसलिए फलन $f(x) = x^2$ एक अनेकानेक फलन है।

एक फलन अंतःक्षेपी होता है यदि उसकी रेंज (range) उसके कोडोमेन (codomain) का एक उचित उपसमुच्चय हो।
फलन $f(x) = x^2$ के लिए, डोमेन $\mathbb{R}$ है और कोडोमेन $\mathbb{R}$ है।
किसी भी वास्तविक संख्या $x$ के लिए, $x^2 \ge 0$ होता है।
इसलिए, फलन की रेंज $[0, \infty)$ है।
चूंकि रेंज $[0, \infty)$ कोडोमेन $\mathbb{R}$ का एक उचित उपसमुच्चय है (क्योंकि $\mathbb{R}$ में ऋणात्मक संख्याएँ भी शामिल हैं जो रेंज में नहीं हैं), इसलिए फलन $f(x) = x^2$ एक अंतःक्षेपी फलन है।

अतः, फलन $f(x) = x^2$ एक अनेकानेक अंतःक्षेपी फलन है।
$\boxed{\text{सिद्ध हुआ}}$

2. सिद्ध करें कि समुच्चय $\{1, 2, 3\}$ में $R = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 3)\}$ द्वारा प्रदत्त संबंध स्वतुल्य है, परंतु न तो सममित है और न संक्रामक है।

दिया गया समुच्चय $A = \{1, 2, 3\}$ और संबंध $R = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 3)\}$ है।

एक संबंध $R$ स्वतुल्य होता है यदि प्रत्येक $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R$ हो।
यहाँ, $A = \{1, 2, 3\}$।
हम देखते हैं कि $(1, 1) \in R$, $(2, 2) \in R$, और $(3, 3) \in R$।
चूंकि $A$ के सभी अवयवों के लिए $(a, a) \in R$ है, इसलिए संबंध $R$ स्वतुल्य है।

एक संबंध $R$ सममित होता है यदि प्रत्येक $(a, b) \in R$ के लिए $(b, a) \in R$ हो।
हम देखते हैं कि $(1, 2) \in R$ है।
लेकिन $(2, 1) \notin R$ है।
चूंकि $(1, 2) \in R$ है लेकिन $(2, 1) \notin R$ है, इसलिए संबंध $R$ सममित नहीं है।

एक संबंध $R$ संक्रामक होता है यदि प्रत्येक $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ के लिए $(a, c) \in R$ हो।
हम देखते हैं कि $(1, 2) \in R$ और $(2, 3) \in R$ है।
संक्रामकता के लिए, $(1, 3)$ को $R$ में होना चाहिए।
लेकिन $(1, 3) \notin R$ है।
चूंकि $(1, 2) \in R$ और $(2, 3) \in R$ है लेकिन $(1, 3) \notin R$ है, इसलिए संबंध $R$ संक्रामक नहीं है।

अतः, संबंध $R$ स्वतुल्य है, परंतु न तो सममित है और न संक्रामक है।
$\boxed{\text{सिद्ध हुआ}}$