Un club de tennis comporte 500 adhérents dont 300 hommes (adhérents de sexe masculin). Dans ce club, le…

Question

Un club de tennis comporte 500 adhérents dont 300 hommes (adhérents de sexe masculin). Dans ce club, le tennis en compétition est pratiqué par 20% des femmes et 1% des hommes(λ est un nombre réel); les autres adhérents pratiquent ce sport uniquement pour le loisir.

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voici la résolution de l'exercice de probabilités.

Données initiales :

Nombre total d'adhérents : 500
Nombre d'hommes : 300
Nombre de femmes : $500 - 300 = 200$
$F$ : "L'adhérent est une femme"
$C$ : "L'adhérent pratique le tennis en compétition"
$20\%$ des femmes pratiquent le tennis en compétition.
$\lambda\%$ des hommes pratiquent le tennis en compétition.

1/a) Calcule $P(F)$ .

Déterminer le nombre de femmes et le nombre total d'adhérents.
Le club compte 200 femmes sur un total de 500 adhérents.
Calculer la probabilité $P(F)$ .
$P(F) = \frac{\text{Nombre de femmes}}{\text{Nombre total d'adhérents}} = \frac{200}{500}$ $P(F) = \frac{2}{5}$
La probabilité que l'adhérent choisi soit une femme est :
$\boxed{P(F) = \frac{2}{5}}$

1/b) Donne la probabilité que l'adhérent choisi pratique le tennis en compétition sachant que c'est une femme.
Identifier l'information donnée dans l'énoncé.
L'énoncé indique que $20\%$ des femmes pratiquent le tennis en compétition. Cette information correspond à la probabilité conditionnelle $P(C|F)$ .
Convertir le pourcentage en fraction irréductible.
$P(C|F) = \frac{20}{100} = \frac{1}{5}$
La probabilité que l'adhérent choisi pratique le tennis en compétition sachant que c'est une femme est :
$\boxed{P(C|F) = \frac{1}{5}}$

1/c) Justifie que $P(F \cap C) = \frac{2}{25}$ .
Utiliser la formule de la probabilité conditionnelle.
On sait que $P(C|F) = \frac{P(F \cap C)}{P(F)}$ .
Donc, $P(F \cap C) = P(C|F) \times P(F)$ .
Substituer les valeurs trouvées précédemment.
$P(F \cap C) = \frac{1}{5} \times \frac{2}{5}$ $P(F \cap C) = \frac{2}{25}$
La justification est :
$\boxed{P(F \cap C) = P(C|F) \times P(F) = \frac{1}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{2}{25}}$

2/a) L'adhérent choisi pratique le tennis en compétition, détermine la probabilité que ce soit une femme.
Identifier la probabilité à calculer.
Il s'agit de la probabilité que l'adhérent soit une femme sachant qu'il pratique le tennis en compétition, soit $P(F|C)$ .
Utiliser la formule de la probabilité conditionnelle.
$P(F|C) = \frac{P(F \cap C)}{P(C)}$
On nous donne $P(C) = \frac{13}{50}$ et nous avons calculé $P(F \cap C) = \frac{2}{25}$ .
Substituer les valeurs et calculer.
$P(F|C) = \frac{\frac{2}{25}}{\frac{13}{50}} = \frac{2}{25} \times \frac{50}{13}$ $P(F|C) = \frac{2 \times 2}{13} = \frac{4}{13}$
La probabilité que l'adhérent soit une femme sachant qu'il pratique le tennis en compétition est :
$\boxed{P(F|C) = \frac{4}{13}}$

2/b) Démontre que $P(\overline{F} \cap C) = \frac{9}{50}$ .
Utiliser la formule des probabilités totales.
L'événement $C$ peut être décomposé en deux événements disjoints : $C \cap F$ (tennis en compétition et femme) et $C \cap \overline{F}$ (tennis en compétition et homme).
Donc, $P(C) = P(F \cap C) + P(\overline{F} \cap C)$ .
Isoler $P(\overline{F} \cap C)$ et substituer les valeurs connues.
$P(\overline{F} \cap C) = P(C) - P(F \cap C)$ $P(\overline{F} \cap C) = \frac{13}{50} - \frac{2}{25}$
Pour soustraire les fractions, on les met au même dénominateur :
$P(\overline{F} \cap C) = \frac{13}{50} - \frac{2 \times 2}{25 \times 2} = \frac{13}{50} - \frac{4}{50}$ $P(\overline{F} \cap C) = \frac{13 - 4}{50} = \frac{9}{50}$
La démonstration est :
$\boxed{P(\overline{F} \cap C) = P(C) - P(F \cap C) = \frac{13}{50} - \frac{2}{25} = \frac{13}{50} - \frac{4}{50} = \frac{9}{50}}$

2/c) Déduis en la valeur de $\lambda$ .
Calculer la probabilité que l'adhérent soit un homme, $P(\overline{F})$ .
Le club compte 300 hommes sur un total de 500 adhérents.
$P(\overline{F}) = \frac{300}{500} = \frac{3}{5}$
Utiliser la formule de la probabilité conditionnelle pour les hommes.
On sait que $\lambda\%$ des hommes pratiquent le tennis en compétition, ce qui signifie $P(C|\overline{F}) = \frac{\lambda}{100}$ .
De plus, $P(C|\overline{F}) = \frac{P(\overline{F} \cap C)}{P(\overline{F})}$ .
Égaler les deux expressions de $P(C|\overline{F})$ et résoudre pour $\lambda$ .
$\frac{\lambda}{100} = \frac{P(\overline{F} \cap C)}{P(\overline{F})}$
Nous avons $P(\overline{F} \cap C) = \frac{9}{50}$ et $P(\overline{F}) = \frac{3}{5}$ .
$\frac{\lambda}{100} = \frac{\frac{9}{50}}{\frac{3}{5}} = \frac{9}{50} \times \frac{5}{3}$ $\frac{\lambda}{100} = \frac{9 \times 5}{50 \times 3} = \frac{45}{150}$
Simplifier la fraction :
$\frac{\lambda}{100} = \frac{3 \times 15}{10 \times 15} = \frac{3}{10}$
Maintenant, résolvons pour $\lambda$ :
$\lambda = \frac{3}{10} \times 100$ $\lambda = 30$
La valeur de $\lambda$ est :
$\boxed{\lambda = 30}$

Un club de tennis comporte 500 adhérents dont 300 hommes (adhérents de sexe masculin). Dans ce club, le tennis en compétition est pratiqué par 20% des femmes et 1% des hommes(λ est un nombre réel); les autres adhérents pratiquent ce sport uniquement pour le loisir.

Step-by-step solution

Déterminer le nombre de femmes et le nombre total d'adhérents.

Calculer la probabilité $P(F)$ .

Identifier l'information donnée dans l'énoncé.

Convertir le pourcentage en fraction irréductible.

Utiliser la formule de la probabilité conditionnelle.

Substituer les valeurs trouvées précédemment.

Identifier la probabilité à calculer.

Utiliser la formule de la probabilité conditionnelle.

Substituer les valeurs et calculer.

Utiliser la formule des probabilités totales.

Isoler $P(\overline{F} \cap C)$ et substituer les valeurs connues.

Calculer la probabilité que l'adhérent soit un homme, $P(\overline{F})$ .

Utiliser la formule de la probabilité conditionnelle pour les hommes.

Égaler les deux expressions de $P(C|\overline{F})$ et résoudre pour $\lambda$ .

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Step-by-step solution

Déterminer le nombre de femmes et le nombre total d'adhérents.

Calculer la probabilité P(F)P(F)P(F).

Identifier l'information donnée dans l'énoncé.

Convertir le pourcentage en fraction irréductible.

Utiliser la formule de la probabilité conditionnelle.

Substituer les valeurs trouvées précédemment.

Identifier la probabilité à calculer.

Utiliser la formule de la probabilité conditionnelle.

Substituer les valeurs et calculer.

Utiliser la formule des probabilités totales.

Isoler P(F‾∩C)P(\overline{F} \cap C)P(F∩C) et substituer les valeurs connues.

Calculer la probabilité que l'adhérent soit un homme, P(F‾)P(\overline{F})P(F).

Utiliser la formule de la probabilité conditionnelle pour les hommes.

Égaler les deux expressions de P(C∣F‾)P(C|\overline{F})P(C∣F) et résoudre pour λ\lambdaλ.

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Calculer la probabilité $P(F)$ .

Isoler $P(\overline{F} \cap C)$ et substituer les valeurs connues.

Calculer la probabilité que l'adhérent soit un homme, $P(\overline{F})$ .

Égaler les deux expressions de $P(C|\overline{F})$ et résoudre pour $\lambda$ .