Using integration by parts, evaluate the integral integral01/2 theta (3) dtheta.

نختار $u = \theta$ و $dv = \sin(3\pi\theta) \, d\theta$.

من $u = \theta$، نحصل على $du = d\theta$.
لإيجاد $v$، نكامل $dv$:

باستخدام التعويض $w = 3\pi\theta$, فإن $dw = 3\pi \, d\theta$, أي $d\theta = \frac{1}{3\pi} \, dw$.

نكامل $\int \cos(3\pi\theta) \, d\theta$. باستخدام نفس التعويض $w = 3\pi\theta$:

نعوض نتيجة التكامل المتبقي في المعادلة من الخطوة 3:

نحسب القيمة عند الحد الأعلى $\theta = 1/2$:

بما أن $\cos(3\pi/2) = 0$ و $\sin(3\pi/2) = -1$:

نحسب القيمة عند الحد الأدنى $\theta = 0$:

بما أن $\cos(0) = 1$ و $\sin(0) = 0$:

الجواب النهائي هو: