لحل هذا التكامل، سنستخدم التكامل بالتجزئة (Integration by Parts)، والذي ينص على أن ∫udv=uv−∫vdu.
الخطوة 1: تحديد u و dv.
نختار u=θ و dv=sin(3πθ)dθ.
الخطوة 2: حساب du و v.
من u=θ، نحصل على du=dθ.
لإيجاد v، نكامل dv:
v=∫sin(3πθ)dθ
باستخدام التعويض w=3πθ, فإن dw=3πdθ, أي dθ=3π1dw.
v=∫sin(w)3π1dw=3π1(−cos(w))=−3π1cos(3πθ)
الخطوة 3: تطبيق صيغة التكامل بالتجزئة.
∫θsin(3πθ)dθ=θ(−3π1cos(3πθ))−∫(−3π1cos(3πθ))dθ
=−3πθcos(3πθ)+3π1∫cos(3πθ)dθ
الخطوة 4: حساب التكامل المتبقي.
نكامل ∫cos(3πθ)dθ. باستخدام نفس التعويض w=3πθ:
∫cos(3πθ)dθ=3π1sin(3πθ)
الخطوة 5: دمج النتائج.
نعوض نتيجة التكامل المتبقي في المعادلة من الخطوة 3:
∫θsin(3πθ)dθ=−3πθcos(3πθ)+3π1(3π1sin(3πθ))
=−3πθcos(3πθ)+9π21sin(3πθ)
الخطوة 6: تقييم التكامل المحدد من 0 إلى 1/2.
[−3πθcos(3πθ)+9π21sin(3πθ)]01/2
نحسب القيمة عند الحد الأعلى θ=1/2:
−3π1/2cos(3π⋅21)+9π21sin(3π⋅21)
=−6π1cos(23π)+9π21sin(23π)
بما أن cos(3π/2)=0 و sin(3π/2)=−1:
=−6π1(0)+9π21(−1)=0−9π21=−9π21
نحسب القيمة عند الحد الأدنى θ=0:
−3π0cos(3π⋅0)+9π21sin(3π⋅0)
=0⋅cos(0)+9π21sin(0)
بما أن cos(0)=1 و sin(0)=0:
=0⋅1+9π21⋅0=0+0=0
الخطوة 7: طرح القيمة عند الحد الأدنى من القيمة عند الحد الأعلى.
(−9π21)−(0)=−9π21
الجواب النهائي هو:
-\frac{1{9\pi^2}}
That's 2 down. 3 left today — send the next one.
