Dessinez les courbes du champ électrique E(r) et du potentiel électrostatique V(r) en fonction de r pour une distribution de charge sphérique.

Pour tracer les courbes du champ électrique $E(r)$ et du potentiel électrostatique $V(r)$ en fonction de $r$, nous allons analyser leurs expressions et leurs comportements.

Les expressions sont :

$$E(r) = \begin{cases} \frac{\beta r^2}{4\epsilon_0} & \text{pour } r < R \\ \frac{\beta R^4}{4\epsilon_0 r^2} & \text{pour } r \ge R \end{cases}$$ $$V(r) = \begin{cases} \frac{\beta}{12\epsilon_0} (4R^3 - r^3) & \text{pour } r < R \\ \frac{\beta R^4}{4\epsilon_0 r} & \text{pour } r \ge R \end{cases}$$

On peut poser $E_0 = \frac{\beta R^2}{4\epsilon_0}$ et $V_0 = \frac{\beta R^3}{4\epsilon_0}$ pour simplifier l'écriture des valeurs à $r=R$.

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1. Tracé de la courbe du champ électrique $E(r)$ :

• Axe des abscisses : $r$ (distance radiale, de 0 à l'infini).

• Axe des ordonnées : $E(r)$ (valeur du champ électrique).

• Pour $r < R$ (à l'intérieur de la sphère) :

  • $E(r) = \frac{\beta r^2}{4\epsilon_0}$. C'est une fonction parabolique de $r$.
  • À $r=0$, $E(0) = 0$. Le champ est nul au centre.
  • Le champ augmente à mesure que $r$ augmente.
  • À $r=R$, $E(R) = \frac{\beta R^2}{4\epsilon_0} = E_0$. C'est la valeur maximale du champ.
  • Forme de la courbe : Une parabole qui part de l'origine et monte jusqu'à $E_0$ à $r=R$.

• Pour $r \ge R$ (à l'extérieur de la sphère) :

  • $E(r) = \frac{\beta R^4}{4\epsilon_0 r^2}$. C'est une fonction qui décroît en $\frac{1}{r^2}$.
  • À $r=R$, $E(R) = \frac{\beta R^4}{4\epsilon_0 R^2} = \frac{\beta R^2}{4\epsilon_0} = E_0$. La fonction est continue à $r=R$.
  • Lorsque $r \to \infty$, $E(r) \to 0$.
  • Forme de la courbe : Une courbe qui décroît rapidement à partir de $E_0$ à $r=R$, tendant vers zéro.

Résumé pour $E(r)$ : La courbe commence à zéro, monte paraboliquement jusqu'à un maximum à $r=R$, puis décroît comme $1/r^2$ en s'éloignant de la sphère.

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2. Tracé de la courbe du potentiel électrostatique $V(r)$ :

• Axe des abscisses : $r$ (distance radiale, de 0 à l'infini).

• Axe des ordonnées : $V(r)$ (valeur du potentiel électrostatique).

• Pour $r < R$ (à l'intérieur de la sphère) :

  • $V(r) = \frac{\beta}{12\epsilon_0} (4R^3 - r^3)$. C'est une fonction cubique décroissante de $r$.
  • À $r=0$, $V(0) = \frac{4\beta R^3}{12\epsilon_0} = \frac{\beta R^3}{3\epsilon_0}$. C'est la valeur maximale du potentiel, au centre.
  • Le potentiel diminue à mesure que $r$ augmente.
  • À $r=R$, $V(R) = \frac{\beta}{12\epsilon_0} (4R^3 - R^3) = \frac{3\beta R^3}{12\epsilon_0} = \frac{\beta R^3}{4\epsilon_0} = V_0$.
  • Forme de la courbe : Une courbe qui part de son maximum à $r=0$ et décroît de manière cubique jusqu'à $V_0$ à $r=R$.

• Pour $r \ge R$ (à l'extérieur de la sphère) :

  • $V(r) = \frac{\beta R^4}{4\epsilon_0 r}$. C'est une fonction qui décroît en $\frac{1}{r}$.
  • À $r=R$, $V(R) = \frac{\beta R^4}{4\epsilon_0 R} = \frac{\beta R^3}{4\epsilon_0} = V_0$. La fonction est continue à $r=R$.
  • Lorsque $r \to \infty$, $V(r) \to 0$ (par convention).
  • Forme de la courbe : Une courbe qui décroît à partir de $V_0$ à $r=R$, tendant vers zéro plus lentement que $E(r)$.

Résumé pour $V(r)$ : La courbe part d'un maximum au centre, décroît de manière cubique jusqu'à $r=R$, puis décroît comme $1/r$ en s'éloignant de la sphère.

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Points clés pour le traçage :

• Marque clairement l'axe $r$ et l'axe $E(r)$ ou $V(r)$.
• Identifie le point $r=R$ sur l'axe des abscisses.
• Calcule les valeurs de $E(R)$ et $V(R)$ pour les marquer sur l'axe des ordonnées.
• Note que $E(0)=0$ et $V(0)=\frac{\beta R^3}{3\epsilon_0}$.
• Note que $E(r) \to 0$ et $V(r) \to 0$ lorsque $r \to \infty$.