Et l'expérience 3

Voici la résolution détaillée pour l'Expérience 3.

3) EXPLOITATION DE L'EXPÉRIENCE 3

3.1. Détermine:

3.1.1. L'impédance $Z_1$ du circuit.
Pour cette expérience, on nous donne $N_1 = 100 \text{ Hz}$, $R = 35 \Omega$, $r = 10 \Omega$.
Les réactances sont données: $2\pi N_1 L = 630 \Omega$ et $\frac{1}{2\pi N_1 C} = 1590 \Omega$.
L'impédance totale $Z_1$ est donnée par:

$$Z_1 = \sqrt{(R+r)^2 + \left(2\pi N_1 L - \frac{1}{2\pi N_1 C}\right)^2}$$

Calculons la résistance totale: $R_{tot} = R+r = 35 \Omega + 10 \Omega = 45 \Omega$.
Calculons la réactance totale: $X_{tot} = 2\pi N_1 L - \frac{1}{2\pi N_1 C} = 630 \Omega - 1590 \Omega = -960 \Omega$.

$$Z_1 = \sqrt{(45 \Omega)^2 + (-960 \Omega)^2}$$ $$Z_1 = \sqrt{2025 \Omega^2 + 921600 \Omega^2}$$ $$Z_1 = \sqrt{923625 \Omega^2} \approx 961,05 \ \Omega$$

L'impédance $Z_1$ du circuit est de $\boxed{\text{961 } \Omega}$.

3.1.2. L'intensité $I_1$ du courant dans le circuit.
La tension efficace est $U = 4,5 \text{ V}$ et l'impédance $Z_1 = 961,05 \Omega$.

$$I_1 = \frac{U}{Z_1} = \frac{4,5 \text{ V}}{961,05 \Omega} \approx 0,00468 \text{ A}$$

L'intensité $I_1$ du courant est de $\boxed{\text{4,68 mA}}$.

3.2. Fais la construction de FRESNEL, en utilisant les impédances. Échelle : 1 cm $\leftrightarrow$ 10 $\Omega$.
Les vecteurs d'impédance à représenter sont:

• Le vecteur résistance $(R+r)$ de longueur $45 \Omega$, soit 4,5 cm sur l'axe horizontal.
• Le vecteur réactance inductive $X_L = 630 \Omega$, soit 63 cm sur l'axe vertical positif.
• Le vecteur réactance capacitive $X_C = 1590 \Omega$, soit 159 cm sur l'axe vertical négatif. La construction de Fresnel consiste à:

1. Tracer un vecteur horizontal de longueur 4,5 cm (représentant $R+r$) à partir de l'origine.
2. À l'extrémité de ce vecteur, tracer un vecteur vertical vers le haut de longueur 63 cm (représentant $X_L$).
3. À l'extrémité du vecteur $X_L$, tracer un vecteur vertical vers le bas de longueur 159 cm (représentant $X_C$).
4. Le vecteur résultant de l'impédance totale $Z_1$ est le vecteur reliant l'origine du premier vecteur à l'extrémité du dernier vecteur. Il forme l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés sont $(R+r)$ et $(X_L - X_C)$. Le vecteur réactance totale est $X_L - X_C = 630 \Omega - 1590 \Omega = -960 \Omega$. Ce vecteur est dirigé vers le bas et a une longueur de 96 cm à l'échelle.

3.3. Détermine:

3.3.1. La phase $\phi_{u/i}$ de la tension $u(t)$ par rapport à l'intensité $i(t)$.
La phase $\phi_{u/i}$ est donnée par:

$$\tan(\phi_{u/i}) = \frac{X_L - X_C}{R+r}$$

On a $X_L - X_C = -960 \Omega$ et $R+r = 45 \Omega$.

$$\tan(\phi_{u/i}) = \frac{-960 \Omega}{45 \Omega} = -21,33$$ $$\phi_{u/i} = \arctan(-21,33) \approx -87,3^\circ$$

La phase $\phi_{u/i}$ est de $\boxed{\text{-87,3}^\circ}$.

3.3.2. Le circuit est - il inductif ou capacitif ? Justifie ta réponse.
Puisque la phase $\phi_{u/i}$ est négative ($\phi_{u/i} < 0$), cela signifie que la tension est en retard par rapport à l'intensité. De plus, la réactance totale $X_L - X_C = -960 \Omega$ est négative.
Par conséquent, le circuit est capacitif.