Explain facts related to uniform accelerated motion, sinusoidal rectilinear motion, and projectile motion.

Assumons que la balle est lancée verticalement vers le haut depuis $y=0$ avec une vitesse initiale $v_0$. L'accélération due à la gravité est $a_y = -g$.
Les équations horaires de la vitesse et de la position sont :

Au sommet S, la vitesse verticale est nulle ($v_y(t_S) = 0$).

Substituons $t_S$ dans l'équation de position $y(t)$ :

Par définition, cette ordonnée maximale est $h$.
Donc, $\boxed{h = \frac{v_0^2}{2g}}$

b) Tir horizontal:

Assumons que la balle est lancée horizontalement depuis une hauteur $H$ avec une vitesse initiale $v_0$ (horizontale). Le repère est $(O, \vec{i}, \vec{j})$ avec l'origine au point de lancement, l'axe $x$ horizontal et l'axe $y$ vertical vers le haut.
Conditions initiales ($t=0$): $x_0=0$, $y_0=H$, $v_{x0}=v_0$, $v_{y0}=0$.
Accélérations : $a_x = 0$, $a_y = -g$.
Les équations horaires de la position sont :

De l'équation de $x(t)$, on tire $t = \frac{x}{v_0}$.
Substituons $t$ dans l'équation de $y(t)$ :

2.2. Prouver que la balle passe au-dessus du filet et calculer l'abscisse $X_p$ du point de chute.

a) Passage au-dessus du filet:

Assumons que le filet est situé à une distance horizontale $d_{filet}$ du point de lancement et a une hauteur $h_{filet}$.
La hauteur de la balle lorsqu'elle atteint la position horizontale du filet ($x = d_{filet}$) est donnée par l'équation de la trajectoire établie précédemment :

Pour que la balle passe au-dessus du filet, sa hauteur à la position du filet doit être supérieure à la hauteur du filet.
La balle passe au-dessus du filet si $\boxed{H - \frac{g}{2v_0^2}d_{filet}^2 > h_{filet}}$.
(Sans valeurs numériques pour $H$, $v_0$, $d_{filet}$ et $h_{filet}$, la preuve est donnée par cette condition.)

b) Abscisse du point de chute $X_p$:

Le point de chute est atteint lorsque la balle touche le sol, c'est-à-dire lorsque $y=0$.
En utilisant l'équation de la trajectoire :

Puisque $X_p$ est une distance, elle est positive :

2.3. Donner, à $t = 0$ s, l'abscisse et la valeur de la vitesse de l'extrémité E de la bielle puis déterminer l'équation horaire du mouvement de l'extrémité E de la bielle.

Assumons que l'extrémité E de la bielle effectue un mouvement rectiligne sinusoïdal (harmonique simple) le long de l'axe des $x$.
L'équation horaire générale de ce mouvement est :

La vitesse de l'extrémité E est la dérivée de la position par rapport au temps :

À $t=0$ s :
L'abscisse de l'extrémité E est :

La valeur de la vitesse de l'extrémité E est :

L'équation horaire du mouvement de l'extrémité E est :

où $X_m$ est l'amplitude du mouvement, $\omega$ est la pulsation (fréquence angulaire), et $\phi_0$ est la phase initiale. Ces paramètres doivent être déterminés à partir des conditions initiales ou des caractéristiques du système, qui ne sont pas fournies ici.

3.1. Calculer la date de son troisième passage par le point D d'abscisse $x_2$, dans le sens des élongations négatives.

Assumons que le mouvement est $x(t) = X_m \cos(\omega t + \phi_0)$.
Nous cherchons $t$ tel que $x(t) = x_2$ et $v_x(t) < 0$.
De $x(t) = x_2$, on a $\cos(\omega t + \phi_0) = \frac{x_2}{X_m}$.
Soit $\alpha = \arccos\left(\frac{x_2}{X_m}\right)$, avec $0 \le \alpha \le \pi$.
Les solutions générales pour $\omega t + \phi_0$ sont $\alpha + 2k\pi$ et $-\alpha + 2k\pi$, où $k$ est un entier.

La vitesse est $v_x(t) = -X_m \omega \sin(\omega t + \phi_0)$.
Pour que le mouvement soit dans le sens des élongations négatives ($v_x(t) < 0$), il faut que $\sin(\omega t + \phi_0) > 0$.
Ceci est vrai pour $\omega t + \phi_0 = \alpha + 2k\pi$ (car $\sin(\alpha) > 0$ pour $0 < \alpha < \pi$).

Donc, $\omega t = \alpha - \phi_0 + 2k\pi$.

où $\alpha = \arccos\left(\frac{x_2}{X_m}\right)$.
Si le premier passage dans ce sens correspond à $k=0$ (ou la plus petite valeur de $k$ pour $t \ge 0$), alors le troisième passage correspond à $k=2$.
La date du troisième passage est :

(Les valeurs de $X_m$, $\omega$, $\phi_0$ et $x_2$ sont nécessaires pour un calcul numérique.)

3.2. Montrer que l'équation horaire angulaire du dispositif M est la relation ①;

La relation ① n'est pas fournie dans l'énoncé. Par conséquent, il n'est pas possible de répondre à cette question.

3.3. Montrer que le vecteur accélération du dispositif sur la portion circulaire est sous la forme de la relation ②; avec k une constante dont on précisera le nom et la valeur puis en déduire la nature du mouvement du dispositif M.

La relation ② est donnée par $\vec{a} = -k^2 \vec{OM}$.
Pour un point M en mouvement circulaire de rayon $R$ autour de l'origine O avec une vitesse angulaire $\omega$, le vecteur position est $\vec{OM}$. L'accélération centripète est dirigée vers le centre O et a pour module $a = \omega^2 R$.
En termes vectoriels, l'accélération est $\vec{a} = -\omega^2 \vec{OM}$.

En comparant $\vec{a} = -\omega^2 \vec{OM}$ avec $\vec{a} = -k^2 \vec{OM}$, on identifie $k^2 = \omega^2$.
Puisque $k$ est une constante, on prend la valeur positive : $k = \omega$.

a) Nom et valeur de k :
Le nom de la constante $k$ est la pulsation ou fréquence angulaire du mouvement.
Sa valeur est $\boxed{k = \omega}$.

b) Nature du mouvement :
Puisque l'accélération est toujours dirigée vers le centre du cercle (l'origine O) et que sa magnitude est constante (car $k$ est une constante, donc $\omega$ est constante), le mouvement est un mouvement circulaire uniforme.
La nature du mouvement du dispositif M est un $\boxed{\text{mouvement circulaire uniforme}}$.