This physics problem tests your understanding of fundamental physical laws and their applications. The step-by-step solution below breaks down the problem using relevant equations and physical reasoning.
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Step 1: दिए गए द्रव्यमानों को पहचानें और त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक निर्धारित करें। तीन कणों के द्रव्यमान हैं: m_1 = 1 किग्रा m_2 = (3)/(2) किग्रा m_3 = 2 किग्रा एक समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई a है। हम शीर्षों को निर्देशांक प्रणाली में इस प्रकार रखते हैं: पहला कण m_1 को मूल बिंदु पर रखें: (x_1, y_1) = (0,0) दूसरा कण m_2 को x-अक्ष पर रखें: (x_2, y_2) = (a,0) तीसरा कण m_3 के निर्देशांक होंगे: x_3 = (a)/(2) (आधार का मध्यबिंदु) y_3 = त्रिभुज की ऊँचाई = a (60^) = a sqrt(3)2 तो, (x_3, y_3) = ((a)/(2), asqrt(3)2) Step 2: कुल द्रव्यमान (M_total) की गणना करें। M_total = m_1 + m_2 + m_3 M_total = 1 + (3)/(2) + 2 M_total = (2)/(2) + (3)/(2) + (4)/(2) M_total = (2+3+4)/(2) = (9)/(2) Step 3: द्रव्यमान केंद्र के x-निर्देशांक (x_CM) की गणना करें। x_CM = (m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3)/(M_total) x_CM = ((1)(0) + (3)/(2))(a) + (2)((a)/(2))(9)/(2) x_CM = (0 + 3a)/(2) + a(9)/(2) x_CM = (3a)/(2) + (2a)/(2)(9)/(2) x_CM = (5a)/(2)(9)/(2) x_CM = (5a)/(2) × (2)/(9) = (5a)/(9) Step 4: द्रव्यमान केंद्र के y-निर्देशांक (y_CM) की गणना करें। y_CM = (m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3)/(M_total) y_CM = ((1)(0) + (3)/(2))(0) + (2)(asqrt(3)2)(9)/(2) y_CM = 0 + 0 + asqrt(3)(9)/(2) y_CM = asqrt(3)(9)/(2) y_CM = asqrt(3) × (2)/(9) = 2asqrt(3)9 Step 5: प्राप्त निर्देशांकों की तुलना विकल्पों से करें। हमें द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक ((5a)/(9), 2asqrt(3)9) प्राप्त हुए हैं। विकल्प (a) में y-निर्देशांक (2a)/(3sqrt(3)) दिया गया है। इसे सरल करने पर: (2a)/(3sqrt(3)) = (2a)/(3sqrt(3)) × sqrt(3)sqrt(3) = 2asqrt(3)3 × 3 = 2asqrt(3)9 यह हमारे द्वारा गणना किए गए y-निर्देशांक से मेल खाता है। अतः, द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक हैं ((5a)/(9), (2a)/(3sqrt(3)))। सही विकल्प (a) है। The final answer is ((5a)/(9), (2a)/(3sqrt(3)))