तीन कणों के द्रव्यमान क्रमशः m1 = 1 किग्रा, m2 = 3/2 किग्रा और m3 = 2 किग्रा हैं। ये कण एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षों पर रखे गए हैं जिसकी भुजा की लंबाई a है। द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

तीन कणों के द्रव्यमान हैं:
$m_1 = 1$ किग्रा
$m_2 = \frac{3}{2}$ किग्रा
$m_3 = 2$ किग्रा

एक समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई $a$ है। हम शीर्षों को निर्देशांक प्रणाली में इस प्रकार रखते हैं:
पहला कण $m_1$ को मूल बिंदु पर रखें: $(x_1, y_1) = (0,0)$
दूसरा कण $m_2$ को x-अक्ष पर रखें: $(x_2, y_2) = (a,0)$
तीसरा कण $m_3$ के निर्देशांक होंगे:
$x_3 = \frac{a}{2}$ (आधार का मध्यबिंदु)
$y_3 = \text{त्रिभुज की ऊँचाई} = a \sin(60^\circ) = a \frac{\sqrt{3}}{2}$
तो, $(x_3, y_3) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$

$$M_{total} = m_1 + m_2 + m_3$$ $$M_{total} = 1 + \frac{3}{2} + 2$$ $$M_{total} = \frac{2}{2} + \frac{3}{2} + \frac{4}{2}$$ $$M_{total} = \frac{2+3+4}{2} = \frac{9}{2}$$

$$x_{CM} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}{M_{total}}$$ $$x_{CM} = \frac{(1)(0) + \left(\frac{3}{2}\right)(a) + (2)\left(\frac{a}{2}\right)}{\frac{9}{2}}$$ $$x_{CM} = \frac{0 + \frac{3a}{2} + a}{\frac{9}{2}}$$ $$x_{CM} = \frac{\frac{3a}{2} + \frac{2a}{2}}{\frac{9}{2}}$$ $$x_{CM} = \frac{\frac{5a}{2}}{\frac{9}{2}}$$ $$x_{CM} = \frac{5a}{2} \times \frac{2}{9} = \frac{5a}{9}$$

$$y_{CM} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3}{M_{total}}$$ $$y_{CM} = \frac{(1)(0) + \left(\frac{3}{2}\right)(0) + (2)\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}{\frac{9}{2}}$$ $$y_{CM} = \frac{0 + 0 + a\sqrt{3}}{\frac{9}{2}}$$ $$y_{CM} = \frac{a\sqrt{3}}{\frac{9}{2}}$$ $$y_{CM} = a\sqrt{3} \times \frac{2}{9} = \frac{2a\sqrt{3}}{9}$$

हमें द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक $\left(\frac{5a}{9}, \frac{2a\sqrt{3}}{9}\right)$ प्राप्त हुए हैं।
विकल्प (a) में y-निर्देशांक $\frac{2a}{3\sqrt{3}}$ दिया गया है। इसे सरल करने पर:

$$\frac{2a}{3\sqrt{3}} = \frac{2a}{3\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2a\sqrt{3}}{3 \times 3} = \frac{2a\sqrt{3}}{9}$$

यह हमारे द्वारा गणना किए गए y-निर्देशांक से मेल खाता है।

अतः, द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक हैं $\left(\frac{5a}{9}, \frac{2a}{3\sqrt{3}}\right)$।

सही विकल्प (a) है।