Quatre charges ponctuelles identiques q sont placées aux quatre coins d'un carré de côté d. Quelle est l'énergie potentielle électrostatique du système de charges ?

Voici les étapes pour résoudre le problème :

1. Calculer le potentiel électrostatique $V$ où est plongée une de ces charges.

Le potentiel électrostatique en un point dû à un système de charges est la somme algébrique des potentiels créés par chaque charge individuelle (principe de superposition). Nous allons calculer le potentiel au niveau d'une charge (disons la charge en haut à gauche) dû aux trois autres charges.

Soit $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$.

Les distances des trois autres charges à la charge considérée sont :

• Deux charges adjacentes à une distance $d$.
• Une charge diagonale à une distance $d\sqrt{2}$.

Le potentiel $V$ à l'emplacement d'une charge, dû aux trois autres charges, est :

$$V = k \frac{q}{d} + k \frac{q}{d} + k \frac{q}{d\sqrt{2}}$$ $$V = k \frac{q}{d} \left(1 + 1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$$ $$V = k \frac{q}{d} \left(2 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$

En substituant $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ :

$$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{d} \left(2 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$

Le potentiel peut aussi s'écrire :

$$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{d} \left(\frac{4 + \sqrt{2}}{2}\right)$$ $$V = \boxed{\frac{q}{8\pi\epsilon_0 d} (4 + \sqrt{2})}$$

2. Calculer l'énergie électrostatique $\epsilon$ du système composé de ces charges.

L'énergie électrostatique d'un système de charges ponctuelles est la somme des énergies potentielles de toutes les paires de charges.
Il y a 4 charges. Le nombre de paires est $\binom{4}{2} = 6$.

Les paires de charges sont de deux types :

• 4 paires de charges adjacentes (distance $d$).
• 2 paires de charges diagonales (distance $d\sqrt{2}$).

L'énergie potentielle pour une paire de charges $q_1$ et $q_2$ séparées par une distance $r$ est $U = k \frac{q_1 q_2}{r}$.
Puisque toutes les charges sont identiques ($q$), l'énergie totale $\epsilon$ est :

$$\epsilon = 4 \times \left(k \frac{q \cdot q}{d}\right) + 2 \times \left(k \frac{q \cdot q}{d\sqrt{2}}\right)$$ $$\epsilon = k \frac{q^2}{d} \left(4 + \frac{2}{\sqrt{2}}\right)$$ $$\epsilon = k \frac{q^2}{d} \left(4 + \frac{2\sqrt{2}}{2}\right)$$ $$\epsilon = k \frac{q^2}{d} (4 + \sqrt{2})$$

En substituant $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ :

$$\epsilon = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{d} (4 + \sqrt{2})$$ $$\epsilon = \boxed{\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 d} (4 + \sqrt{2})}$$