2 sin2 (3π/6) + 2 cosec2 (7π/6) + 3 cot2 (π/3) = ?

हम जानते हैं कि $\sin \frac{\pi}{6} = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$।
तो,

$$2 \sin^2 \frac{\pi}{6} = 2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$$

हम जानते हैं कि $\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$।
$\sin \frac{7\pi}{6} = \sin \left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$।
इसलिए, $\text{cosec} \frac{7\pi}{6} = \frac{1}{\sin \frac{7\pi}{6}} = \frac{1}{-\frac{1}{2}} = -2$।
तो,

$$\text{cosec}^2 \frac{7\pi}{6} = (-2)^2 = 4$$

हम जानते हैं कि $\cos \frac{\pi}{3} = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$।
तो,

$$\cos^2 \frac{\pi}{3} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$

$$\text{LHS} = 2 \sin^2 \frac{\pi}{6} + \text{cosec}^2 \frac{7\pi}{6} \cos^2 \frac{\pi}{3}$$ $$\text{LHS} = \frac{1}{2} + (4) \times \left(\frac{1}{4}\right)$$ $$\text{LHS} = \frac{1}{2} + 1$$ $$\text{LHS} = \frac{1 + 2}{2}$$ $$\text{LHS} = \frac{3}{2}$$

हमने पाया कि $\text{LHS} = \frac{3}{2}$।
दिया गया $\text{RHS} = 2$।
चूंकि $\frac{3}{2} \neq 2$, दिया गया समीकरण सही नहीं है। इसे सिद्ध नहीं किया जा सकता।

अतः,

$$\boxed{2 \sin^2 \frac{\pi}{6} + \text{cosec}^2 \frac{7\pi}{6} \cos^2 \frac{\pi}{3} = \frac{3}{2} \neq 2}$$