Bepc 2014 maths ci

Voici la résolution du problème de mathématiques du BEPC 2014 Côte d'Ivoire.

Exercice 1 : Arithmétique

Soit A = (1/2 - 1/3) × (3/4) et B = (5/6) ÷ (10/3).

Calcul de A :

1. Simplifier la parenthèse : 1/2 - 1/3 = (3 - 2)/6 = 1/6.
2. Multiplier par 3/4 : A = (1/6) × (3/4) = 3/24.
3. Simplifier la fraction : A = 1/8.

Calcul de B :

1. Transformer la division en multiplication par l'inverse : B = (5/6) × (3/10).
2. Multiplier les fractions : B = (5 × 3) / (6 × 10) = 15/60.
3. Simplifier la fraction : B = 1/4.

Calcul de A - B :

1. Substituer les valeurs trouvées : A - B = 1/8 - 1/4.
2. Mettre au même dénominateur (8) : A - B = 1/8 - 2/8.
3. Soustraire les numérateurs : A - B = (1 - 2)/8 = -1/8.

Calcul de (A - B) × (16/3) :

1. Substituer la valeur de A - B : (-1/8) × (16/3).
2. Multiplier les fractions : (-1 × 16) / (8 × 3) = -16/24.
3. Simplifier la fraction : -2/3.

Le résultat final est -2/3.

Exercice 2 : Géométrie

Soit un triangle ABC rectangle en A. AB = 4 cm, AC = 3 cm.

Calcul de BC :

1. Appliquer le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC².
2. Substituer les valeurs : BC² = 4² + 3².
3. Calculer les carrés : BC² = 16 + 9 = 25.
4. Prendre la racine carrée : BC = √25 = 5 cm. La longueur de BC est 5 cm.

Calcul de cos(B) et sin(B) :

1. Définition du cosinus : cos(B) = Adjacent / Hypothénuse = AB / BC.
2. Substitution : cos(B) = 4/5.
3. Définition du sinus : sin(B) = Opposé / Hypothénuse = AC / BC.
4. Substitution : sin(B) = 3/5. cos(B) = 4/5 et sin(B) = 3/5.

Calcul de cos(C) et sin(C) :

1. Définition du cosinus : cos(C) = Adjacent / Hypothénuse = AC / BC.
2. Substitution : cos(C) = 3/5.
3. Définition du sinus : sin(C) = Opposé / Hypothénuse = AB / BC.
4. Substitution : sin(C) = 4/5. cos(C) = 3/5 et sin(C) = 4/5.

Exercice 3 : Algèbre

Soit l'expression E = (2x - 1)² - (x + 3)².

Développer et réduire E :

1. Développer (2x - 1)² : (2x)² - 2(2x)(1) + 1² = 4x² - 4x + 1.
2. Développer (x + 3)² : x² + 2(x)(3) + 3² = x² + 6x + 9.
3. Soustraire le deuxième développement du premier : E = (4x² - 4x + 1) - (x² + 6x + 9).
4. Changer les signes dans la deuxième parenthèse : E = 4x² - 4x + 1 - x² - 6x - 9.
5. Regrouper les termes semblables : E = (4x² - x²) + (-4x - 6x) + (1 - 9).
6. Réduire : E = 3x² - 10x - 8. L'expression réduite est 3x² - 10x - 8.

Factoriser E :

1. Utiliser l'identité remarquable a² - b² = (a - b)(a + b).
2. Identifier a = (2x - 1) et b = (x + 3).
3. Calculer (a - b) : (2x - 1) - (x + 3) = 2x - 1 - x - 3 = x - 4.
4. Calculer (a + b) : (2x - 1) + (x + 3) = 2x - 1 + x + 3 = 3x + 2.
5. Multiplier les deux résultats : E = (x - 4)(3x + 2). La forme factorisée est (x - 4)(3x + 2).

Résoudre l'équation E = 0 :

1. Utiliser la forme factorisée : (x - 4)(3x + 2) = 0.
2. Pour qu'un produit soit nul, il faut qu'au moins un des facteurs soit nul.
3. Premier cas : x - 4 = 0 ⟹ x = 4.
4. Deuxième cas : 3x + 2 = 0 ⟹ 3x = -2 ⟹ x = -2/3. Les solutions de l'équation sont 4 et -2/3.