Écrire les propositions suivantes en utilisant les quantificateurs logiques.

Question

ScanSolve AI Tutor · Accepted Answer

هنا سنقوم بتحديد قيمة الحقيقة (صحيح أو خاطئ) لكل من العبارات المنطقية المعطاة في التمرين 2. العبارة p₁: ( x ∈ R) x² − 3x + 5 = 0; الخطوة 1: لحل المعادلة التربيعية x² − 3x + 5 = 0، نحسب المميز Δ = b² − 4ac. Δ = (−3)² − 4(1)(5) = 9 − 20 = −11 الخطوة 2: بما أن المميز Δ < 0، فالمعادلة ليس لها حلول حقيقية. لذلك، لا يوجد عدد حقيقي x يحقق المعادلة. العبارة p₁ خاطئة. --- العبارة p₂: ( x ∈ R) x² − 5x − 6 ≤ 0 الخطوة 1: نجد جذور المعادلة x² − 5x − 6 = 0. (x−6)(x+1) = 0; الجذور هي x=6 و x=−1. الخطوة 2: بما أن معامل x² موجب (1)، فإن القطع المكافئ يفتح للأعلى. تكون العبارة x² − 5x − 6 ≤ 0 صحيحة عندما يكون x بين الجذور أو يساويها، أي x ∈ [−1, 6]. العبارة p₂ تقول إن هذا صحيح لجميع الأعداد الحقيقية x. هذا غير صحيح. على سبيل المثال، إذا كان x=7: 7² − 5(7) − 6 = 49 − 35 − 6 = 8 بما أن 8 ≤ 0، فإن العبارة خاطئة. العبارة p₂ خاطئة. --- العبارة p₃: ( x ∈ R) |x+1| = |x| + 1; الخطوة 1: هذه المتطابقة |a+b| = |a| + |b| تكون صحيحة إذا وفقط إذا كان ab ≥ 0. في هذه الحالة، a=x و b=1. لذا، يجب أن يكون x · 1 ≥ 0، أي x ≥ 0. الخطوة 2: بما أنه يوجد عدد حقيقي x يحقق الشرط x ≥ 0 (مثل x=1، حيث |1+1| = 2 و |1|+1 = 1+1 = 2)، فإن العبارة صحيحة. العبارة p₃ صحيحة. --- العبارة p₄: ( x ∈ R) x² > x الخطوة 1: يمكن إعادة كتابة المتباينة على النحو التالي: x² − x > 0، أو x(x−1) > 0. الخطوة 2: هذه المتباينة تكون صحيحة عندما يكون x < 0 أو x > 1. العبارة p₄ تقول إن هذا صحيح لجميع الأعداد الحقيقية x. هذا غير صحيح. على سبيل المثال، إذا كان x=0.5: (0.5)² = 0.25 بما أن 0.25 0.5، فإن العبارة خاطئة. العبارة p₄ خاطئة. --- العبارة p₅: ( x ∈ ]0, π[) sin(x) ≥ 0 الخطوة 1: في الفترة المفتوحة ]0, π[ (التي تمثل الربعين الأول والثاني في دائرة الوحدة)، تكون قيمة دالة الجيب sin(x) موجبة دائمًا. أي أن sin(x) > 0 لكل x ∈ ]0, π[. الخطوة 2: بما أن sin(x) > 0 في هذه الفترة، فإن sin(x) ≥ 0 تكون صحيحة بالضرورة. العبارة p₅ صحيحة. --- العبارة p₆: ( x ∈ [0, 1]) −1 ≤ x ≤ 2 الخطوة 1: إذا كان x ∈ [0, 1]، فهذا يعني أن 0 ≤ x ≤ 1. الخطوة 2: الشرط −1 ≤ x ≤ 2 يعني أن x ∈ [−1, 2]. بما أن الفترة [0, 1] محتواة بالكامل داخل الفترة [−1, 2] (أي [0, 1] [−1, 2])، فإن أي عدد x في [0, 1] سيحقق بالضرورة الشرط −1 ≤ x ≤ 2. العبارة p₆ صحيحة. --- العبارة p₇: ( x ∈ R) x ≤ 3 ⇒ x² ≤ 9 الخطوة 1: العبارة الشرطية P ⇒ Q تكون خاطئة فقط إذا كان P صحيحًا و Q خاطئًا. نبحث عن عدد حقيقي x بحيث يكون x ≤ 3 صحيحًا، ولكن x² ≤ 9 خاطئًا (أي x² > 9). الخطوة 2: لنأخذ x = −4. الشرط الأول x ≤ 3 هو −4 ≤ 3، وهو صحيح. الشرط الثاني x² ≤ 9 هو (−4)² ≤ 9، أي 16 ≤ 9. هذا خاطئ. بما أننا وجدنا مثالاً مضادًا، فإن العبارة خاطئة. العبارة p₇ خاطئة. --- العبارة p₈: ( x ∈ [2, 3]) (2 ≤ x ≤ 5/2) (x² − 5x + 6 < 0) الخطوة 1: نحلل الشرط الأول: 2 ≤ x ≤ 5/2 يعني x ∈ [2, 2.5]. الخطوة 2: نحلل الشرط الثاني: x² − 5x + 6 < 0. جذور المعادلة x² − 5x + 6 = 0 هي x=2 و x=3. بما أن معامل x² موجب، فإن x² − 5x + 6 < 0 عندما يكون x بين الجذور، أي 2 < x < 3. الخطوة 3: العبارة المركبة (2 ≤ x ≤ 5/2) (x² − 5x + 6 < 0) تعني أن x ∈ [2, 2.5] و x ∈ (2, 3). تقاطع هاتين الفترتين هو (2, 2.5]. إذن، العبارة p₈ تقول: لكل x في الفترة [2, 3]، يكون x ∈ (2, 2.5]. هذا خاطئ. على سبيل المثال، إذا أخذنا x=2: x=2 ∈ [2, 3] صحيح. لكن x=2 ∈ (2, 2.5] (لأن 2 ليس أكبر تمامًا من 2). بما أننا وجدنا عنصرًا في الفترة [2, 3] لا يحقق الشرط، فإن العبارة خاطئة. العبارة p₈ خاطئة. --- العبارة p₉: ( x ∈ R) (x² + 3x − 4)² ≥ 0 الخطوة 1: لأي عدد حقيقي A، فإن مربعه A² يكون دائمًا أكبر من أو يساوي الصفر. الخطوة 2: في هذه العبارة، A = x² + 3x − 4. بما أن x عدد حقيقي، فإن x² + 3x − 4 هو أيضًا عدد حقيقي. لذلك، فإن مربعه (x² + 3x − 4)² يجب أن يكون دائمًا أكبر من أو يساوي الصفر. العبارة p₉ صحيحة. --- ملخص قيم الحقيقة: p₁: خاطئة p₂: خاطئة p₃: صحيحة p₄: خاطئة p₅: صحيحة p₆: صحيحة p₇: خاطئة p₈: خاطئة p₉: صحيحة

Écrire les propositions suivantes en utilisant les quantificateurs logiques.

Answer

Step-by-step solution

لحل المعادلة التربيعية $x^2 - 3x + 5 = 0$ ، نحسب المميز $\Delta = b^2 - 4ac$ .

بما أن المميز $\Delta < 0$ ، فالمعادلة ليس لها حلول حقيقية.

نجد جذور المعادلة $x^2 - 5x - 6 = 0$ .

بما أن معامل $x^2$ موجب (1)، فإن القطع المكافئ يفتح للأعلى.

هذه المتطابقة $|a+b| = |a| + |b|$ تكون صحيحة إذا وفقط إذا كان $ab \ge 0$ .

بما أنه يوجد عدد حقيقي $x$ يحقق الشرط $x \ge 0$ (مثل $x=1$ ، حيث $|1+1| = 2$ و $|1|+1 = 1+1 = 2$ )، فإن العبارة صحيحة.

يمكن إعادة كتابة المتباينة على النحو التالي

هذه المتباينة تكون صحيحة عندما يكون $x < 0$ أو $x > 1$ .

في الفترة المفتوحة $]0, \pi[$ (التي تمثل الربعين الأول والثاني في دائرة الوحدة)، تكون قيمة دالة الجيب $\sin(x)$ موجبة دائمًا.

بما أن $\sin(x) > 0$ في هذه الفترة، فإن $\sin(x) \ge 0$ تكون صحيحة بالضرورة.

إذا كان $x \in [0, 1]$ ، فهذا يعني أن $0 \le x \le 1$ .

الشرط $-1 \le x \le 2$ يعني أن $x \in [-1, 2]$ .

العبارة الشرطية $P \implies Q$ تكون خاطئة فقط إذا كان $P$ صحيحًا و $Q$ خاطئًا.

لنأخذ $x = -4$ .

نحلل الشرط الأول

نحلل الشرط الثاني

العبارة المركبة $(2 \le x \le \frac{5}{2}) \land (x^2 - 5x + 6 < 0)$ تعني أن $x \in [2, 2.5]$ و $x \in (2, 3)$ .

لأي عدد حقيقي $A$ ، فإن مربعه $A^2$ يكون دائمًا أكبر من أو يساوي الصفر.

في هذه العبارة، $A = x^2 + 3x - 4$ .

Still stuck on this one?

More Mathematics Questions

Écrire les propositions suivantes en utilisant les quantificateurs logiques.

Answer

Step-by-step solution

لحل المعادلة التربيعية x2−3x+5=0x^2 - 3x + 5 = 0x2−3x+5=0، نحسب المميز Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4acΔ=b2−4ac.

بما أن المميز Δ<0\Delta < 0Δ<0، فالمعادلة ليس لها حلول حقيقية.

نجد جذور المعادلة x2−5x−6=0x^2 - 5x - 6 = 0x2−5x−6=0.

بما أن معامل x2x^2x2 موجب (1)، فإن القطع المكافئ يفتح للأعلى.

هذه المتطابقة ∣a+b∣=∣a∣+∣b∣|a+b| = |a| + |b|∣a+b∣=∣a∣+∣b∣ تكون صحيحة إذا وفقط إذا كان ab≥0ab \ge 0ab≥0.

بما أنه يوجد عدد حقيقي xxx يحقق الشرط x≥0x \ge 0x≥0 (مثل x=1x=1x=1، حيث ∣1+1∣=2|1+1| = 2∣1+1∣=2 و ∣1∣+1=1+1=2|1|+1 = 1+1 = 2∣1∣+1=1+1=2)، فإن العبارة صحيحة.

يمكن إعادة كتابة المتباينة على النحو التالي

هذه المتباينة تكون صحيحة عندما يكون x<0x < 0x<0 أو x>1x > 1x>1.

في الفترة المفتوحة ]0,π[]0, \pi[]0,π[ (التي تمثل الربعين الأول والثاني في دائرة الوحدة)، تكون قيمة دالة الجيب sin⁡(x)\sin(x)sin(x) موجبة دائمًا.

بما أن sin⁡(x)>0\sin(x) > 0sin(x)>0 في هذه الفترة، فإن sin⁡(x)≥0\sin(x) \ge 0sin(x)≥0 تكون صحيحة بالضرورة.

إذا كان x∈[0,1]x \in [0, 1]x∈[0,1]، فهذا يعني أن 0≤x≤10 \le x \le 10≤x≤1.

الشرط −1≤x≤2-1 \le x \le 2−1≤x≤2 يعني أن x∈[−1,2]x \in [-1, 2]x∈[−1,2].

العبارة الشرطية P ⟹ QP \implies QP⟹Q تكون خاطئة فقط إذا كان PPP صحيحًا و QQQ خاطئًا.

لنأخذ x=−4x = -4x=−4.

نحلل الشرط الأول

نحلل الشرط الثاني

العبارة المركبة (2≤x≤52)∧(x2−5x+6<0)(2 \le x \le \frac{5}{2}) \land (x^2 - 5x + 6 < 0)(2≤x≤25​)∧(x2−5x+6<0) تعني أن x∈[2,2.5]x \in [2, 2.5]x∈[2,2.5] و x∈(2,3)x \in (2, 3)x∈(2,3).

لأي عدد حقيقي AAA، فإن مربعه A2A^2A2 يكون دائمًا أكبر من أو يساوي الصفر.

في هذه العبارة، A=x2+3x−4A = x^2 + 3x - 4A=x2+3x−4.

Still stuck on this one?

More Mathematics Questions

لحل المعادلة التربيعية $x^2 - 3x + 5 = 0$ ، نحسب المميز $\Delta = b^2 - 4ac$ .

بما أن المميز $\Delta < 0$ ، فالمعادلة ليس لها حلول حقيقية.

نجد جذور المعادلة $x^2 - 5x - 6 = 0$ .

بما أن معامل $x^2$ موجب (1)، فإن القطع المكافئ يفتح للأعلى.

هذه المتطابقة $|a+b| = |a| + |b|$ تكون صحيحة إذا وفقط إذا كان $ab \ge 0$ .

بما أنه يوجد عدد حقيقي $x$ يحقق الشرط $x \ge 0$ (مثل $x=1$ ، حيث $|1+1| = 2$ و $|1|+1 = 1+1 = 2$ )، فإن العبارة صحيحة.

هذه المتباينة تكون صحيحة عندما يكون $x < 0$ أو $x > 1$ .

في الفترة المفتوحة $]0, \pi[$ (التي تمثل الربعين الأول والثاني في دائرة الوحدة)، تكون قيمة دالة الجيب $\sin(x)$ موجبة دائمًا.

بما أن $\sin(x) > 0$ في هذه الفترة، فإن $\sin(x) \ge 0$ تكون صحيحة بالضرورة.

إذا كان $x \in [0, 1]$ ، فهذا يعني أن $0 \le x \le 1$ .

الشرط $-1 \le x \le 2$ يعني أن $x \in [-1, 2]$ .

العبارة الشرطية $P \implies Q$ تكون خاطئة فقط إذا كان $P$ صحيحًا و $Q$ خاطئًا.

لنأخذ $x = -4$ .

العبارة المركبة $(2 \le x \le \frac{5}{2}) \land (x^2 - 5x + 6 < 0)$ تعني أن $x \in [2, 2.5]$ و $x \in (2, 3)$ .

لأي عدد حقيقي $A$ ، فإن مربعه $A^2$ يكون دائمًا أكبر من أو يساوي الصفر.

في هذه العبارة، $A = x^2 + 3x - 4$ .