Montrer que les propositions suivantes sont vraies puis déterminer leurs négations : P₁: (∃x∈R) 3x + 6 = 0; P2: (∃x∈R) x² − 3x + 2 = 0; P3: (∀ x ∈ [1; 6]) x² − 7x + 6 ≤0

$$
3x = -6
$$
$$
x = \frac{-6}{3}
$$
$$
x = -2
$$
بما أن $x = -2$ هو عدد حقيقي، فإن هناك على الأقل عدد حقيقي واحد يحقق المعادلة.  
إذن، الاقتراح P1 **صحيح**.

• النفي: نفي الاقتراح $(\exists x \in \mathbb{R}) P(x)$ هو $(\forall x \in \mathbb{R}) \neg P(x)$. $$\neg P_1: (\forall x \in \mathbb{R}) \quad 3x + 6 \neq 0$$

P2: $(\exists x \in \mathbb{R}) \quad x^2 - 3x + 2 = 0$

• تحديد قيمة الصدق:

بما أن 1 و 2 كلاهما أعداد حقيقية، فإن هناك على الأقل عدد حقيقي واحد يحقق المعادلة.  
إذن، الاقتراح P2 **صحيح**.

• النفي: $$\neg P_2: (\forall x \in \mathbb{R}) \quad x^2 - 3x + 2 \neq 0$$

P3: $(\forall x \in [1; 6]) \quad x^2 - 7x + 6 \leq 0$

• تحديد قيمة الصدق:

وهذا يتوافق مع النتيجة.
إذن، الاقتراح P3 صحيح.

• النفي: نفي الاقتراح $(\forall x \in A) P(x)$ هو $(\exists x \in A) \neg P(x)$. $$\neg P_3: (\exists x \in [1; 6]) \quad x^2 - 7x + 6 > 0$$

P4: $(\forall x \in \mathbb{R}) \quad x^2 - 2x + 3 > 0$

• تحديد قيمة الصدق:

(طريقة بديلة: إكمال المربع $x^2 - 2x + 3 = (x-1)^2 + 2$. بما أن $(x-1)^2 \geq 0$، فإن $(x-1)^2 + 2 \geq 2 > 0$).  
إذن، الاقتراح P4 **صحيح**.

• النفي: $$\neg P_4: (\exists x \in \mathbb{R}) \quad x^2 - 2x + 3 \leq 0$$