Écris le numéro de chacune des propositions ci-dessous suivi de VRAI si la proposition est vraie ou de FAUX si la proposition est fausse.

Voici la résolution des Exercices 1 et 2.

EXERCICE 1

1. La proposition est VRAI. C'est la formule générale de la probabilité de l'union de deux événements.
2. La proposition est FAUX. La fonction $\ln x$ est définie pour $x > 0$, donc son ensemble de définition est $]0 ; +\infty[$.
3. La proposition est FAUX. La dérivée de $f(x) = 2e^x$ est $f'(x) = 2e^x$.
4. La proposition est VRAI. La formule du terme général d'une suite géométrique est $u_n = u_1 \times q^{n-1}$. Avec $u_1 = 3$ et $q = 2$, on obtient bien $u_n = 3 \times 2^{n-1}$.

EXERCICE 2

1. L'ensemble des solutions dans $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ du système d'équation $\begin{cases} \ln x + 2\ln y = -1 \\ 2\ln x - 3\ln y = 4 \end{cases}$

Soient $X = \ln x$ et $Y = \ln y$. Le système devient :

$$\begin{cases} X + 2Y = -1 \quad (1) \\ 2X - 3Y = 4 \quad (2) \end{cases}$$

De l'équation (1), on tire $X = -1 - 2Y$.
On substitue cette expression de $X$ dans l'équation (2) :

$$2(-1 - 2Y) - 3Y = 4$$ $$-2 - 4Y - 3Y = 4$$ $$-7Y = 6$$ $$Y = -\frac{6}{7}$$

On substitue la valeur de $Y$ dans l'expression de $X$ :

$$X = -1 - 2\left(-\frac{6}{7}\right) = -1 + \frac{12}{7} = -\frac{7}{7} + \frac{12}{7} = \frac{5}{7}$$

Donc, $\ln x = \frac{5}{7}$ et $\ln y = -\frac{6}{7}$.
D'où $x = e^{5/7}$ et $y = e^{-6/7}$.
La solution du système est $(e^{5/7} ; e^{-6/7})$.

En examinant les options proposées, aucune ne correspond à cette solution exacte. Il semble y avoir une erreur dans l'énoncé du système ou dans les options. Cependant, si l'on suppose que le système était $\begin{cases} \ln x + 2\ln y = 9 \\ 2\ln x - 3\ln y = 4 \end{cases}$, alors l'option C serait correcte :
Pour $x = e^5$ et $y = e^2$ (Option C) :
$\ln(e^5) + 2\ln(e^2) = 5 + 2(2) = 5 + 4 = 9$. (Première équation vérifiée avec 9 au lieu de -1)
$2\ln(e^5) - 3\ln(e^2) = 2(5) - 3(2) = 10 - 6 = 4$. (Deuxième équation vérifiée)
En supposant une coquille dans la première équation du système (le $-1$ devrait être 9), l'option correcte serait C.

La bonne réponse est C.

2. L'ensemble des solutions dans $\mathbb{R}$ de l'inéquation $\ln(2x-1) \le \ln(x+3)$

D'abord, déterminons le domaine de définition de l'inéquation :
$2x-1 > 0 \implies 2x > 1 \implies x > \frac{1}{2}$
$x+3 > 0 \implies x > -3$
Le domaine de définition est donc $x \in ]\frac{1}{2} ; +\infty[$.
Puisque la fonction $\ln$ est strictement croissante, on peut enlever le $\ln$ :

$$2x-1 \le x+3$$ $$2x - x \le 3 + 1$$ $$x \le 4$$

En combinant avec le domaine de définition, l'ensemble des solutions est $x \in ]\frac{1}{2} ; 4]$.

La bonne réponse est C.

3. $\lim_{x \to -\infty} (x^2 - 1)$

Lorsque $x$ tend vers $-\infty$, $x^2$ tend vers $+\infty$.
Par conséquent, $\lim_{x \to -\infty} (x^2 - 1) = +\infty$.

La bonne réponse est C.

4. La dérivée sur $\mathbb{R}$ de la fonction $x \mapsto \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 - 1$

Soit $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 - 1$.
On utilise la règle de dérivation $(x^n)' = nx^{n-1}$ :

$$f'(x) = \frac{1}{3}(3x^{3-1}) - 3(2x^{2-1}) - 0$$ $$f'(x) = x^2 - 6x$$

La bonne réponse est D.