Démontre que les équations suivantes ont au moins une solution dans l'intervalle [0 ; 1[ : a) x³ + 3x = 1; b) x³ = 2 + 1/(x-1); c) x - 2cos(πx/2) = -1

Soit $f(x) = x^3 + 3x - 1$. L'équation devient $f(x) = 0$.

La fonction $f(x)$ est une fonction polynomiale, elle est donc continue sur $\mathbb{R}$, et par conséquent continue sur l'intervalle fermé $[0; 1]$.

Nous avons $f(0) = -1$ et $f(1) = 3$. Puisque $f(0) < 0$ et $f(1) > 0$, la valeur 0 est comprise entre $f(0)$ et $f(1)$.
D'après le Théorème des Valeurs Intermédiaires, il existe au moins une solution $c \in ]0; 1[$ telle que $f(c) = 0$.
L'intervalle $]0; 1[$ est inclus dans $[0; 1[$.
Conclusion: L'équation $x^3 + 3x = 1$ a au moins une solution dans l'intervalle $\boxed{[0; 1[}$.

Soit $f(x) = x^3 - 2 - \frac{1}{x-1}$. L'équation devient $f(x) = 0$.

La fonction $f(x)$ est continue sur son domaine de définition. Le terme $\frac{1}{x-1}$ n'est pas défini pour $x=1$. Donc, $f(x)$ est continue sur l'intervalle $[0; 1[$.

Calculons la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers 1 par valeurs inférieures ($x \to 1^-$).
Lorsque $x \to 1^-$, $x-1 \to 0^-$, donc $\frac{1}{x-1} \to -\infty$.

Nous avons $f(0) = -1$ et $\lim_{x \to 1^-} f(x) = +\infty$. Puisque $f(0) < 0$ et que la fonction tend vers $+\infty$ à l'approche de 1, la valeur 0 est comprise entre $f(0)$ et $\lim_{x \to 1^-} f(x)$.
D'après le Théorème des Valeurs Intermédiaires, il existe au moins une solution $c \in ]0; 1[$ telle que $f(c) = 0$.
Conclusion: L'équation $x^3 = 2 + \frac{1}{x-1}$ a au moins une solution dans l'intervalle $\boxed{[0; 1[}$.

Soit $f(x) = x - 2\cos(\frac{\pi}{2}x) + 1$. L'équation devient $f(x) = 0$.

La fonction $f(x)$ est une somme et composition de fonctions continues ($x$, $\cos(u)$, $\frac{\pi}{2}x$), elle est donc continue sur $\mathbb{R}$, et par conséquent continue sur l'intervalle fermé $[0; 1]$.

Nous avons $f(0) = -1$ et $f(1) = 2$. Puisque $f(0) < 0$ et $f(1) > 0$, la valeur 0 est comprise entre $f(0)$ et $f(1)$.
D'après le Théorème des Valeurs Intermédiaires, il existe au moins une solution $c \in ]0; 1[$ telle que $f(c) = 0$.
L'intervalle $]0; 1[$ est inclus dans $[0; 1[$.
Conclusion: L'équation $x - 2\cos(\frac{\pi}{2}x) = -1$ a au moins une solution dans l'intervalle $\boxed{[0; 1[}$.

La partie "Déterminer la formule explicite de la bijection réciproque" semble être une question distincte ou une instruction générale. Si tu souhaites que je la résolve, merci de me préciser pour quelle fonction.